量子力学的核心——叠加、局域性和不确定性，理解其背后的直觉

本文希望培养读者对量子力学世界有一个必要直观感受，事实上，它也不是那么的无法理解。在这一篇中，我要讨论的是最基本的量子特性，即叠加、不确定性和局域性（ localization）。尽管本文要求读者事先了解一些关于量子世界的基本事实（最基本的是波粒二象性），但一旦清楚了这些基本事实，并能接受了波粒二象性是自然界的一个基本属性这一事实，本文的总体要点就不难掌握和理解了。

首先，让我们看看什么是叠加。叠加在维基百科上被定义为：

一个量子系统在被测量之前同时处于多种状态的能力（the ability of a quantum system to be in multiple states at the same time until is measured）。

能理解吗？似乎并不能。那么，让我们把它拆开来看，这个定义涵盖了叠加的以下几个方面：

1. 该系统需要是一个量子力学系统。这只是意味着系统的大小需要小于10^（-9）米。在更大的尺度上，虽然这些特性确实存在，但它们无法用肉眼看到，甚至无法通过仪器探测到。
2. 系统同时以多种状态存在。这涵盖了叠加的主要方面，并告诉我们所考虑的量子态同时限制了两种不同的属性。这些属性可能是粒子的位置，或它们的动量，或（在量子比特的情况下）它们的比特值的形式。
3. 这种状态一直持续到被测量为止。这涵盖了叠加的另一个方面，即量子叠加作用于一个粒子/波，只要它没有被测量（之前文章深入探讨过）：

幺正演化——时间可逆问题的核心，为存在提供了论据

在本文中，我们将严格地把我们的直觉建立在这个定义上，并将其作为基础。

现在，我们来到了这篇文章的核心——直觉。因此，让我们定义一个二维网格（见下图），在此基础上对波和粒子进行研究。首先在这个网格上添加一些单位标记（单位的大小相当于量子尺度），然后在这个网格上添加一个量子物体。在量子尺度上，波粒二象性要求我们同时重视物体的波和粒子方面的性质。

一个在笛卡尔平面上描述的量子物体。请注意，波和粒子并不是两个不同的物体。相反，它们是对同一个量子物体的两种不同解释。另外，所画的波不是按比例绘制的，而是一个相当随意的波，不应该从数学的角度来研究，只是为了便于理解。

现在让我问你一个问题，粒子到底在哪里？你可能会回答，在（大约）（-2.5，1）处。但如果我问你，波到底在哪里？你可能无法回答! 这就对了。你不能准确地说出波的位置，是吗？

你可能在想，可以增大图形的单位的比例，这样，当系统被放大到非常非常大的时候，波浪似乎是一个点。但是，当放大一点时，就会至少失去一些关于准确性的信息（就像在两个自然数之间有一个1厘米的间隙的自然数刻度上看，会失去关于√2或1.01001000100001的确切位置的信息）。还有，可以放大的程度甚至是有限制的，因为如果放大得太多，就不再是在一个量子世界里了（回到了经典物理世界）。

那波和粒子，它们是不同的量子物体吗？不是。它们只是同一个物体的两个不同的描述。因此，在物体的一个描述中，有一个特定的位置，但在另一个中，就没有了。那么，哪一个是正确的？事实证明，两者都正确，这就是量子力学的全部内容。叠加是关于一个粒子显示出波的特性。因为粒子的波特性，不能有一个确切的位置，粒子必须遵循这一点，它不能有一个确切的位置。而这正是我们所说的 "同时存在于多个状态/位置 "的意思，我们知道这个概念的名称是 "叠加"。

我们无法定义波的确切位置，但至少，你可以知道它可能出现在哪里。这就是物理学世界中所说的“局域性”。

将这一基本结果与我们先前的结论合并起来，得出的观点是，尽管物体（粒子）可以同时处于多种状态，但是，在某个特定的位置（这里用波的存在区域表示）找到物体的机会比在其他地方（波不存在的区域）找到物体的机会要大。因此，找到该物体的概率就出现了。这被称为粒子的 "位置的不确定性"。

从这个波粒二象性中直接得出的另一个结论是“动量的不确定性”。

为了理解，让我们再次回到上面的量子坐标系。现在把重点放在波上，并提出一些问题。波的频率是多少？同样，如果把波投射到时间轴上，这应该是一个很容易回答的问题。但是，你能知道粒子的频率吗？你可能会说，可以把粒子的运动绘制在时间轴上，然后可以求出频率，但是这里我们要找的是粒子运动的频率，而不是粒子的频率。那么你也会注意到，当绘制粒子的运动图并因此求出频率时，我们考虑粒子运动轨迹的频率作为一个整体，定义其位置类似于“位置的不确定性”的情况。

你可能会问，频率与动量的关系是什么，动量是由公式p=h/λ求出的，其中h是普朗克常数，λ是波长，也可以写成p=fh/v，其中f=频率，v=速度，考虑到λ=v/f。因此，动量的不确定性等同于我们之前所证明的。

因此，正如我们在本文中所看到的，动量的不确定性和位置的不确定性是相关的。这就是 "海森堡不确定性原理 "所包含的内容，它是现代量子力学的基础。

这就是叠加和不确定性概念的整体含义。为什么人们认为这很难消化，因为他们考虑的是量子物体的任何一种表现形式，要么是波的方面，要么是粒子的方面。理解的关键是把它们中的每一个都作为量子对象的一个组成部分。

“不确定性”的物理部分是这里所包含的。这是数学不确定性的一个直接结果，它导致了著名的不等式：

其中Δ代表不确定性。值得注意的是，当你阅读这篇文章时，这些量子和 "不直观 "的效应也同样在发挥作用。但是，我们之所以没有看到人们同时吃馅饼和华夫饼，或者猫既是死的又是活的，是因为经典物体具有非常、非常、非常小的波特性。而这阻止了你在上海的同时，又在北京。