日照丨关于中考数学几何经典题型探求!讨论篇!

前言 PREFACE

姜胜昊老师  专注初中数学压轴

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日照作为山东的沿海城市虽然压轴题目有些滞后,很多题目的考察也比较前沿,在中考里面,日照非常喜欢出几何探究问题,这种问题有初中的基本知识,更多有孩子们自主探究学习的能力,读题阅读非常的重要,这些题目的探究不是很深,但是对于学生新颖有趣。

实操真题讲解

1.(2020·日照)阅读理解:

如图1,Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠C=90°,其外接圆半径为R.根据锐角三角函数的定义:sinA=a/c,sinB=b/c,可得a/sinA=b/sinB=c=2R,

即:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(规定sin90°=1).

【探究活动】

如图2,在锐角△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,其外接圆半径为R,那么: a/sinA=b/sinB=c/sinC(用>、=或<连接),并说明理由.

事实上,以上结论适用于任意三角形.

初步应用:

在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠A=60°,∠B=45°,a=8,求b.

综合应用:

如图3,在某次数学活动中,小凤同学测量一古塔CD的高度,在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°,又沿古塔的方向前行了100m到达B处,此时A,B,D三点在一条直线上,在B处测得塔顶C的仰角为45°,求古塔CD的高度(结果保留小数点后一位).(√3≈1.732,sin15°=(√6-√2)/4)

【分析】

探究活动:由锐角三角函数可得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,可求解;

初步应用:将数值代入解析式可求解;

综合应用:由三角形的外角性质可求∠ACB=30°,利用(1)的结论可得,AB/sin∠ACB=BC/sinA,即可求解.

【解答】

解:探究活动:a/sinA=b/sinB=c/sinC,

理由如下:

如图2,过点C作直径CD交⊙O于点D,连接BD,

∴∠A=∠D,∠DBC=90°,

∴sinA=sinD,sinD=a/2R

∴a/sinA=a/(a/2R)=2R

同理可证:b/sinB=2R,c/sinC=2R

∴a/sinA=b/sinB=2R

故答案为:=,=,=.

初步应用:

∵ a/sinA=b/sinB=2R

∴8/sin60°=b/sin45°

∴b =8sin45°/sin60°=(8×√2/2)/√3/2=8√6/3

综合应用:

由题意得:∠D=90°,∠A=15°,∠DBC=45°,AB=100,

∴∠ACB=30°.

设古塔高DC=x,则BC=√2x,

∵AB=sin∠ACB=BC/sinA

∴100/sin30°=√2x/sin15°

∴100/(1/2)=√2x/[(√6-√2)/4]

∴,x=25√2(√6-√2)=50×0.732=36.6

∴古塔高度约为36.6m.

【点评】

本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,锐角三角函数,读懂材料是本题的关键.

2.(2019·日照)探究活动一:

如图1,某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时,在直线AB上的三点A(1,3)、B(2,5)、C(4,9),有kAB=(5-3)/(2-1)=2,kAC=(9-3)/(4-1)=2,发现kAB=kAC,兴趣小组提出猜想:若直线y=kx+b(k≠0)上任意两点坐

标P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠x2),则kPQ=(y2-y1)/(x2-x1)是定值.通过多次验证和查阅资料得知,猜想成立,kPQ是定值,并且是直线y=kx+b(k≠0)中的k,叫做这条直线的斜率.

请你应用以上规律直接写出过S(﹣2,﹣2)、T(4,2)两点的直线ST的斜率kST=(2/3).

探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到正确结论:任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值.

如图2,直线DE与直线DF垂直于点D,D(2,2),E(1,4),F(4,3).请求出直线DE与直线DF的斜率之积.

综合应用

如图3,⊙M为以点M为圆心,MN的长为半径的圆,M(1,2),N(4,5),请结合探究活动二的结论,求出过点N的⊙M的切线的解析式.

【分析】

(1)直接利用公式计算即可;

(2)运用公式分别求出kDE和kDF的值,再计算kDE×kDF=﹣1;

(3)先求直线MN的斜率kMN,根据切线性质可知PQ⊥MN,可得直线PQ的斜率kPQ,待定系数法即可求得直线PQ解析式.

【解答】

解:(1)∵S(﹣2,﹣2)、T(4,2)

∴kST=[2-(-2)]/[4-(-2)]=2/3

故答案为:2/3

(2)∵D(2,2),E(1,4),F(4,3).

∴kDE=(4-2)/(1-2)=﹣2,kDF=(3-2)/(4-2)=,

∴kDE×kDF=﹣2×1/2=﹣1,

∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积等于﹣1.

(3)设经过点N与⊙M的直线为PQ,解析式为y=kPQx+b

∵M(1,2),N(4,5),

∴kMN=(5-2)/(4-1)=1,

∵PQ为⊙M的切线

∴PQ⊥MN

∴kPQ×kMN=﹣1,

∴kPQ=﹣1,

∵直线PQ经过点N(4,5),

∴5=﹣1×4+b,解得 b=9

∴直线PQ的解析式为y=﹣x+9.

【点评】

本题主要考查了圆的切线性质,待定系数法求一次函数解析式,新定义:直线斜率;是一道创新题,引入新定义:直线斜率,理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键.

3.(2018·日照)问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,则:AC=1/2AB.

探究结论:

小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1,连接AB边上中线CE,由于CE=AB,易得结论:①△ACE为等边三角形;②BE与CE之间的数量关系为 BE=CE .

(2)如图2,点D是边CB上任意一点,连接AD,作等边△ADE,且点E在∠ACB的内部,连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明.

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段BE与DE之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论 BE=DE .

拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣√3,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当C点在第一象限内,且B(2,0)时,求C点的坐标.

【分析】

探究结论:(1)只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题;

(2)如图2中,结论:ED=EB.想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题;

(3)结论不变,证明方法类似;

拓展应用:利用(2)中结论,可得CO=CB,设C(1,n),根据OC=CB=AB,构建方程即可解决问题;

【解答】

解:探究结论(1)如图1中,

∵∠ACB=90°,∠B=30°,

∴∠A=60°,

∵AC=1/2AB=AE=EB,

∴△ACE是等边三角形,

∴EC=AE=EB,

故答案为EC=EB.

(2)如图2中,结论:ED=EB.

理由:取AB的中点P,连接CP、PE.

∵△ACP,△ADE都是等边三角形,

∴AC=AP=PC,AD=AE=DE,∠CAP=∠DAE=60°,

∴∠CAD=∠PAE,

∴△CAD≌△PAE,

∴∠ACD=∠APE=90°,

∴EP⊥AB,∵PA=PB,

∴EA=EB,∵DE=AE,

∴ED=EB.

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时,同法可证:ED=EB,

故答案为ED=EB.

拓展应用:如图3中,作AH⊥x轴于H,CF⊥OB于F,连接OA.

∵A(﹣√3,1),

∴∠AOH=30°,

由(2)

可知,CO=CB,

∵CF⊥OB,

∴OF=FB=1,

∴可以假设C(1,n),

∵OC=BC=AB,

∴1+n2=1+(√3+2)2,

∴n=2+√3,

∴C(1,2+√3).

【点评】

本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.

4.(2017·日照)阅读材料:

在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:d=(丨Ax0+By0+C丨)/√A²+√B²

例如:求点P0(0,0)到直线4x+3y﹣3=0的距离.

解:由直线4x+3y﹣3=0知,A=4,B=3,C=﹣3,

∴点P0(0,0)到直线4x+3y﹣3=0的距离为d=丨4×0+3×0-3丨/√4²+√3²=3/5

根据以上材料,解决下列问题:

问题1:点P1(3,4)到直线y=-3/4x+5/4的距离为 4 ;

问题2:已知:⊙C是以点C(2,1)为圆心,1为半径的圆,⊙C与直线y=-3/4x+b相切,求实数b的值;

问题3:如图,设点P为问题2中⊙C上的任意一点,点A,B为直线3x+4y+5=0上的两点,且AB=2,请求出S△ABP的最大值和最小值.

【分析】

(1)根据点到直线的距离公式就是即可;

(2)根据点到直线的距离公式,列出方程即可解决问题.

(3)求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离,求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题.

【解答】

解:(1)点P1(3,4)到直线3x+4y﹣5=0的距离d=丨3×3+4×4-5丨/√3²+√4²=4,

故答案为4.

(2)∵⊙C与直线y=﹣x+b相切,⊙C的半径为1,

∴C(2,1)到直线3x+4y﹣4b=0的距离d=1,

∴丨6+4-4b丨/√3²+√4²=1

解得b=5/4或15/4

(3)点C(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离d=丨6+4-4b丨/√3²+√4²=3

∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4,最小值为2,

∴S△ABP的最大值=1/2×2×4=4,S△ABP的最小值=1/2×2×2=2.

【点评】

本题考查一次函数综合题,点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是理解题意,学会把直线的解析式转化为Ax+By+C=0的形式,学会构建方程解决问题,会求圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值,属于中考压轴题.

5.(2016·日照)阅读理解:

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.

例如:角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹.

问题:如图1,已知EF为△ABC的中位线,M是边BC上一动点,连接AM交EF于点P,那么动点P为线段AM中点.

理由:∵线段EF为△ABC的中位线,∴EF∥BC,

由平行线分线段成比例得:动点P为线段AM中点.

由此你得到动点P的运动轨迹是: 线段EF .

知识应用:

如图2,已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点,连结EF;若AF=BE,且等边△ABC的边长为8,求线段EF中点Q的运动轨迹的长.

拓展提高:

如图3,P为线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD,连结AD、BC,交点为Q.

(1)求∠AQB的度数;

(2)若AB=6,求动点Q运动轨迹的长.

【分析】

阅读理解:根据轨迹的定义可知,动点P的运动轨迹是线段EF.

知识应用:如图1中,作△ABC的中位线MN,作EG∥AC交NM的延长线于G,EF与MN交于点Q′,△GQ′E≌△NQ′F,推出Q、Q′重合即可解决问题.

拓展提高:如图2中,(1)只要证明△APD≌△CPB,推出∠DQG=∠BPG=60°结论解决问题.(2)由(1)可知点P的运动轨迹是,设弧AB所在圆的圆心为O,Z 圆上任意取一点M,连接AM,BM,则∠M=60°,作OH⊥AB于H,则AH=BH=3,OH=√3,OB=2√3,利用弧长公式即可解决.

【解答】

阅读理解:根据轨迹的定义可知,动点P的运动轨迹是线段EF.

故答案为线段EF.

知识应用:如图1中,作△ABC的中位线MN,作EG∥AC交NM的延长线于G,EF与MN交于点Q′

∵△ABC是等边三角形,MN是中位线,

∴AM=BM=AN=CN,

∵AF=BE,

∴EM=FN,

∵MN∥BC,

∴∠AMN=∠B=∠GME=60°,

∵∠A=∠GEM=60°,

∴△GEM是等边三角形,

∴EM=EG=FN,

在△GQ′E和△NQ′F中,

∠GQ`E=∠NQ`F

∠G=∠FNQ`

GE=FN

∴△GQ′E≌△NQ′F,

∴EQ′=FQ′,

∵EQ=QF,

′点Q、Q′重合,

∴点Q在线段MN上,

∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN,

MN=1/2BC=1/2×8=4.

∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4.

拓展提高:如图2中,

(1)∵△APC,△PBD都是等边三角形,

∴AP=PC,PD=PB,∠APC=∠DPB=60°,

∴∠APD=∠CPB,

在△APD和△CPB中,

AP=PC

∠APD=∠CPB

DP=BP

∴△APD≌△CPB,

∴∠ADP=∠CBP,设BC与PD交于点G,

∵∠QGD=∠PGB,

∴∠DQG=∠BPG=60°,

∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

(2)由(1)可知∠AQB=120°是定值,

所以点Q的运动轨迹是,设弧AB所在圆的圆心为O,在圆上任意取一点M,连接AM,BM,

则∠M=60°,

∴∠AOB=2∠M=120°,作OH⊥AB于H,则AH=BH=3,OH=√3,OB=2√3,

∴弧AB的长=(120°×π×2√3)/180°=4√3/3×π

∴动点Q运动轨迹的长4√3/3×π.

【点评】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、圆的有关性质、弧长公式等知识,解题的关键是理解轨迹的意义,学会添加常用辅助线,学会探究找到轨迹的方法,属于中考压轴题.

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