日照丨关于中考数学几何经典题型探求！讨论篇！

前言 PREFACE

姜胜昊老师  专注初中数学压轴

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日照作为山东的沿海城市虽然压轴题目有些滞后，很多题目的考察也比较前沿，在中考里面，日照非常喜欢出几何探究问题，这种问题有初中的基本知识，更多有孩子们自主探究学习的能力，读题阅读非常的重要，这些题目的探究不是很深，但是对于学生新颖有趣。

实操真题讲解

1．（2020·日照）阅读理解：

如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝a/c，sinB＝b/c，可得a/sinA＝b/sinB＝c＝2R，

即：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，（规定sin90°＝1）．

【探究活动】

如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　a/sinA＝b/sinB＝c/sinC（用＞、＝或＜连接），并说明理由．

事实上，以上结论适用于任意三角形．

初步应用：

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．

综合应用：

如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（√3≈1.732，sin15°＝(√6-√2)/4）

【分析】

探究活动：由锐角三角函数可得a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，可求解；

初步应用：将数值代入解析式可求解；

综合应用：由三角形的外角性质可求∠ACB＝30°，利用（1）的结论可得，AB/sin∠ACB=BC/sinA,即可求解．

【解答】

解：探究活动：a/sinA＝b/sinB＝c/sinC，

理由如下：

如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，

∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，

∴sinA＝sinD，sinD＝a/2R

∴a/sinA=a/(a/2R)=2R

同理可证：b/sinB=2R，c/sinC=2R

∴a/sinA=b/sinB=2R

故答案为：＝，＝，＝．

初步应用：

∵ a/sinA=b/sinB=2R

∴8/sin60°=b/sin45°

∴b =8sin45°/sin60°=(8×√2/2)/√3/2=8√6/3

综合应用：

由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，

∴∠ACB＝30°．

设古塔高DC＝x，则BC＝√2x，

∵AB=sin∠ACB=BC/sinA

∴100/sin30°=√2x/sin15°

∴100/（1/2）=√2x/[(√6-√2)/4]

∴，x=25√2(√6-√2)=50×0.732=36.6

∴古塔高度约为36.6m．

【点评】

本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，读懂材料是本题的关键．

2．（2019·日照）探究活动一：

如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝(5-3)/(2-1)=2，kAC＝(9-3)/(4-1)=2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐

标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝(y2-y1)/(x2-x1)是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．

请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝（2/3）．

探究活动二

数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．

如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．

综合应用

如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．

【分析】

（1）直接利用公式计算即可；

（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF＝﹣1；

（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．

【解答】

解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）

∴kST＝[2-(-2)]/[4-(-2)]=2/3

故答案为：2/3

（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．

∴kDE＝(4-2)/(1-2)=﹣2，kDF＝(3-2)/(4-2)=，

∴kDE×kDF＝﹣2×1/2＝﹣1，

∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1．

（3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝kPQx+b

∵M（1，2），N（4，5），

∴kMN＝(5-2)/(4-1)=1，

∵PQ为⊙M的切线

∴PQ⊥MN

∴kPQ×kMN＝﹣1，

∴kPQ＝﹣1，

∵直线PQ经过点N（4，5），

∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9

∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．

【点评】

本题主要考查了圆的切线性质，待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键．

3．（2018·日照）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则：AC＝1/2AB．

探究结论：

小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE＝AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为　BE＝CE　．

（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　BE＝DE　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣√3，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．

【分析】

探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；

（2）如图2中，结论：ED＝EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；

（3）结论不变，证明方法类似；

拓展应用：利用（2）中结论，可得CO＝CB，设C（1，n），根据OC＝CB＝AB，构建方程即可解决问题；

【解答】

解：探究结论（1）如图1中，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠A＝60°，

∵AC＝1/2AB＝AE＝EB，

∴△ACE是等边三角形，

∴EC＝AE＝EB，

故答案为EC＝EB．

（2）如图2中，结论：ED＝EB．

理由：取AB的中点P，连接CP、PE．

∵△ACP，△ADE都是等边三角形，

∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°，

∴∠CAD＝∠PAE，

∴△CAD≌△PAE，

∴∠ACD＝∠APE＝90°，

∴EP⊥AB，∵PA＝PB，

∴EA＝EB，∵DE＝AE，

∴ED＝EB．

（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED＝EB，

故答案为ED＝EB．

拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．

∵A（﹣√3，1），

∴∠AOH＝30°，

由（2）

可知，CO＝CB，

∵CF⊥OB，

∴OF＝FB＝1，

∴可以假设C（1，n），

∵OC＝BC＝AB，

∴1+n2＝1+（√3+2）2，

∴n＝2+√3，

∴C（1，2+√3）．

【点评】

本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

4．（2017·日照）阅读材料：

在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为：d＝（丨Ax0+By0+C丨）/√A²+√B²

例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离．

解：由直线4x+3y﹣3＝0知，A＝4，B＝3，C＝﹣3，

∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为d=丨4×0+3×0-3丨/√4²+√3²=3/5

根据以上材料，解决下列问题：

问题1：点P1（3，4）到直线y＝-3/4x+5/4的距离为　4　；

问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝-3/4x+b相切，求实数b的值；

问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．

【分析】

（1）根据点到直线的距离公式就是即可；

（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．

（3）求出圆心C到直线3x+4y+5＝0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5＝0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．

【解答】

解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5＝0的距离d＝丨3×3+4×4-5丨/√3²+√4²=4，

故答案为4．

（2）∵⊙C与直线y＝﹣x+b相切，⊙C的半径为1，

∴C（2，1）到直线3x+4y﹣4b＝0的距离d＝1，

∴丨6+4-4b丨/√3²+√4²=1

解得b=5/4或15/4

（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5＝0的距离d＝丨6+4-4b丨/√3²+√4²=3

∴⊙C上点P到直线3x+4y+5＝0的距离的最大值为4，最小值为2，

∴S△ABP的最大值＝1/2×2×4＝4，S△ABP的最小值＝1/2×2×2＝2．

【点评】

本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为Ax+By+C＝0的形式，学会构建方程解决问题，会求圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值，属于中考压轴题．

5．（2016·日照）阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．

例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．

理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，

由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．

由此你得到动点P的运动轨迹是：　线段EF　．

知识应用：

如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF＝BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．

拓展提高：

如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．

（1）求∠AQB的度数；

（2）若AB＝6，求动点Q运动轨迹的长．

【分析】

阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．

知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解决问题．

拓展提高：如图2中，（1）只要证明△APD≌△CPB，推出∠DQG＝∠BPG＝60°结论解决问题．（2）由（1）可知点P的运动轨迹是，设弧AB所在圆的圆心为O，Z 圆上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M＝60°，作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝3，OH＝√3，OB＝2√3，利用弧长公式即可解决．

【解答】

阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．

故答案为线段EF．

知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′

∵△ABC是等边三角形，MN是中位线，

∴AM＝BM＝AN＝CN，

∵AF＝BE，

∴EM＝FN，

∵MN∥BC，

∴∠AMN＝∠B＝∠GME＝60°，

∵∠A＝∠GEM＝60°，

∴△GEM是等边三角形，

∴EM＝EG＝FN，

在△GQ′E和△NQ′F中，

∠GQ`E=∠NQ`F

∠G=∠FNQ`

GE=FN

∴△GQ′E≌△NQ′F，

∴EQ′＝FQ′，

∵EQ＝QF，

′点Q、Q′重合，

∴点Q在线段MN上，

∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN，

MN＝1/2BC＝1/2×8＝4．

∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4．

拓展提高：如图2中，

（1）∵△APC，△PBD都是等边三角形，

∴AP＝PC，PD＝PB，∠APC＝∠DPB＝60°，

∴∠APD＝∠CPB，

在△APD和△CPB中，

AP=PC

∠APD=∠CPB

DP=BP

∴△APD≌△CPB，

∴∠ADP＝∠CBP，设BC与PD交于点G，

∵∠QGD＝∠PGB，

∴∠DQG＝∠BPG＝60°，

∴∠AQB＝180°﹣∠DQG＝120°

（2）由（1）可知∠AQB＝120°是定值，

所以点Q的运动轨迹是，设弧AB所在圆的圆心为O，在圆上任意取一点M，连接AM，BM，

则∠M＝60°，

∴∠AOB＝2∠M＝120°，作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝3，OH＝√3，OB＝2√3，

∴弧AB的长＝(120°×π×2√3)/180°=4√3/3×π

∴动点Q运动轨迹的长4√3/3×π．

【点评】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、圆的有关性质、弧长公式等知识，解题的关键是理解轨迹的意义，学会添加常用辅助线，学会探究找到轨迹的方法，属于中考压轴题．