2021巴尔干数学奥林匹克沙特代表队选拔考试题 中文翻译

第一天

1.是否存在两个整系数多项式, 满足:
这两个多项式的系数中均有绝对值大于的项;
多项式的所有系数的绝对值都不超过.

2.锐角非等腰中, 为垂心,为中点. ,分别为过且与分别切于点的圆的圆心. 设分别为中所对的旁心. 求证: 与平行.

3.正整数满足 , 且可以被整除.求证: 不能被整除.

4.在扫雷游戏中, 有一个的网格表, 其中若干个单元格被标记为雷区, 其他的单元格被标记了数字, 这个数字表示该单元格相邻单元格(指有共共顶点,下同)中的雷区的个数. 已知 满足, 存在一个的网格表, 其中, 其中恰有个单元格不为雷区, 且不为雷区的单元格中的数字均为. 求的所有可能值.

第二天

5.黑板上有 个正整数. 我们对其进行如下操作: 首先, 计算黑板上所有数的最小公倍数. 其次, 在黑板上任选一个数, 将其替换为.
求证: 存在一种策略,使得可以经过有限步之后, 将黑板上的所有数替换为.

6.锐角内接于, ,为其内心. 与分别交于点. 在上取点, 使得 , 直线 与分别交于点. 射线 与分别交于点.
证明四边形为筝形. (译者注: 筝形,即两条对角线互相垂直的四边形)
在上取点, 使得. 过作垂线与交于点, 与交于点.
求证: .

7.设为正实数, 求证:

8.给定空间中个点,其中任意点不共线, 任意点不共面. 任意两个点之间均有线段连接. 初始时, 所有线段均为无色线段. 给定正整数, 甲乙两人轮流对这些线段上色. 在每回合中, 甲将一条无色线段染成红色, 随后乙将至多条无色线段染成蓝色. 双方均不能对已经染色的线段进行染色. 两人轮流染色, 若出现了三条边均为红色的三角形, 则甲胜. 若所有线段都被染色, 且为出现三条边均为红色的三角形, 则乙胜. 证明:
 当 ,时, 甲有必胜策略.
当 时, 乙有必胜策略.