项名达《下学葊算书》“正弦公式”之应用
项名达《下学葊算书》“正弦公式”之应用
上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世強 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着之《下学葊算书二》，主要介绍该书之“正弦公式”。清代数学界流行所谓比例四率，“正弦公式”亦以比例四率方式表达，其运算法与现代数学配合。
关键词：下学葊算书 正弦公式 股旁角 勾旁角 正弦
第 1 節 《下學葊算書二》之正弦公式簡介
项名达，字步莱，号梅侣，浙江钱塘﹝今杭州﹞人。祖籍安徽歙县。生于乾隆五十四年﹝即公元1789年﹞，卒于道光三十年﹝即公元1850年﹞。
本文主要介紹項名達《下學葊算書》之正弦公式之應用。
以下各題皆取材自《下學葊算書三種‧平三角和較術‧勾股形》。“平三角”指平面三角，主要為平面直角三角形，本文指出該書正弦公式之應用。
“正弦公式”又稱為“正弦定理”（The Law of Sines），其定理曰：對於任意三角形ABC，若其角分別為∠A、∠B 、∠C，其對邊分別為 a、b 及 c，R為三角形ABC之外接圓半徑，則以下等式成立：
=
=
= 2R。此即為正弦定理或正弦公式。
正弦定理並不深奧，証明亦容易，屬於現代之高中數學三角課程，故其証明法，可參閱一般中學數學書籍。
以下之題目在現代之高中三角課程中亦罕見，故《下學葊算書》值得深入探索。
若直角三角形ABC之弦 = c，勾BC = a，股 AC = b，以下各題皆用此三數，又依慣例，股 > 勾，即 ∠B >45o。
以下為《下學葊算書》一角之正弦表示法：
1. ∠A 是為股旁角，股旁角正弦即 sin A﹝見上圖﹞。
2. ∠B 是為勾旁角，勾旁角正弦即 sin B﹝見上圖﹞。
3. 半直角四十五度正弦即 sin 45o =
。
《下學葊算書》之正弦公式之表示法：
清代數學界流行所謂“比例四率”，即
=
，移項得：
四率 =
。此四率之算法與正弦公式配合，故可視之為正弦公式之應用。若正弦公式為
=
，視之為比例四率，則 a 為一率，sin A為二率，b 為三率，sin B為四率，通常未知數安排為第四率。
第 2 節 《下學葊算書》涉及正弦公式之問
﹝一﹞有弦有勾股較求兩角
題意指已知勾股形之弦及勾股較，求兩銳角。
解：
先作圖如下：
先作勾股形ABC，在股 AC取一點 D，使 CD = CB = a，BCD 成為等腰勾股形，∠DBC = 45o。AD = b – a 是為勾股較﹝“較”即“差”﹞，弦 AB 為 c。弦與勾股較乃已知數，求∠A 及 ∠ABC。
以下為弦與勾股較圖：
從上圖可知，∠ADB = (180 – 45)o = 135o。今先求∠ABD。
在 ∆ADB中，依正弦定理可知：
=
sin∠ABD = sin 135o ×
= sin 45o ×
=
﹝因為 sin 135o= sin 45o﹞。
∠ABD = sin – 1
，
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = sin – 1
+ 45o。
∠BAC = 45 o – sin– 1
。
《下學葊算書》曰：
法以弦為一率，勾股較為二率，半直角四十五度正弦為三率，求得四率為半較角正弦，以半較角與半直角相加為勾旁角，相減為股旁角。
用比例四率，即
=
，四率 =
。
此四率之算法與正弦公式配合，故可視之為正弦公式之應用。
弦 c為一率，勾股較b – a為二率，四十五度正弦= sin 45o =
為三率，
四率 = sin 45o ×
=
。此即為“半較角”之正弦，即 sin∠ABD。
所以半較角=∠ABD = sin – 1
，
所以勾旁角 = sin – 1
+ 45o；股旁角 = 45 o – sin – 1
。
其結果與現代算法相同，即項名達算法配合“正弦定理”。
驗算：
今有一勾股形如下圖：
若 c = 2，b – a = √3 – 1，設 ∠A 及 ∠B 為未知，可知：
∠ABD = sin – 1
= sin – 1
= sin – 1
= sin– 1 0.88048 = 15o。
或曰因為 sin15o =
，所以 sin – 1
= 15o。
即可得∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 15o + 45 o = 60o。
又可得∠BAC = 45o – 15o = 30o。
答：此勾股形之兩角分別為 60o 及 30o。
﹝二﹞有弦有勾股和求兩角
題意指已知勾股形之弦及勾股和，求兩銳角。
解：
先作圖如下：
先作勾股形ABC，延長股 AC 至E，使 CE = CB = a，BCE 成為等腰勾股形，顯然 ∠BEC = 45o。AE = b + a 是為勾股和，弦AB為 c。弦與勾股和AE乃已知數。
以下為有弦與有勾股和圖：
在 ∆ ABE 中，今先求∠ABE。依正弦定理可知：
=
=
sin∠ABE = sin 45o ×
= sin 45o ×
=
。
∠ABE = sin – 1
，因∠ABE為鈍角，取 ∠ABE = 180o – sin – 1
。
∠ABC = ∠ABE – ∠EBC = 180o – sin – 1
– 45o = 135 o – sin – 1
。
∠BAC = 90 o – (135 o – sin – 1
) = sin – 1
– 45 o。
注意以上兩角和為 90 o。
《下學葊算書》曰：
法以弦為一率，勾股和為二率，半直角四十五度正弦為三率，求得四率為半較角餘弦，如前加減得兩角。
依舊用比例四率，即
=
，移項得：
四率 =
。
弦 c為一率，勾股和b + a為二率，四十五度正弦 = sin 45o =
為三率，
四率 = sin 45o ×
=
。此即為半較角之正弦，即 sin∠ABE。
即sin∠ABE =
，所以半較角 = 180o – sin – 1
。
注意項名達用餘弦，容易引起混亂。
所以勾旁角 = sin – 1
– 45o。股旁角 = 135 o –sin – 1
。
其結果與現代算法相同。
依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若 c = 2，勾股和b + a = √3 + 1，求兩角。從圖可知：
∠ABE = sin – 1
= sin– 1
= sin – 1
= sin– 1 0.96592 = 75o。
或曰因為 sin 75o=
，所以 sin– 1
= 75o。
注意 sin 75o= cos 15o，為保留15o 之數，故項名達用“餘弦”，見上述引文。
因∠ABE為鈍角，取 (180 – 75) o = 105 o。可得：
∠ABC = 105 o– 45 o = 60 o。
∠BAC = 90o – 60 o = 30 o。
答：勾股形之兩角分別為 60o 及 30o。
﹝三﹞有兩角有勾股較，求勾、股、弦。
題意指已知勾股形之兩角及勾股較，求勾、股及弦。
解：
若直角三角形ABC之弦 AB = c，勾 BC = a，股 AC = b，皆為未知數；
若∠ABC = β及 b – a 是為勾股較 = p 是為已知數。
今設 θ = β – 45o = ∠ABD。因兩角之和必為 90o，故知其一角即可，現代術語稱之為“自由度為1”。注意若知θ 亦算知兩角。
先作圖如下：
先作勾股形ABC，在股 AC取一點 D，使 CD = CB = a，BCD 成為等腰勾股形，∠DBC = 45o。AD = b – a = p是為勾股較為已知數。又延長股 AC 至E，使 CE = CB = a，BCE 成為等腰勾股形，∠BEC = 45o。AE = b + a 是為勾股和。顯然∠DBE = 90o。
∠ABD = θ 與勾股較 p 乃已知數，求勾、股及弦。
已知角與勾股較圖：
在 ∆ADB中，依正弦定理可知：
=
=
，代入得：
=
移項得 c =
=
。
又在 ∆ABE中，又依正弦定理可知：
=
=
b + a =
× cos θ﹝見附注﹞
= c√2 cos θ
=
√2 cos θ﹝將 c 代入﹞
= p cot θ。
因為 b – a = p，即可知：
b =
(pcot θ + p) =
(cot θ+ 1) 。
a =
(cot θ – 1) 。
附注： sin (90 + θ) = sin[180 – (90 – θ)] = sin (90 – θ) = cos θ。
《下學葊算書》曰：
法以半較角正弦為一率，半直角正弦為二率，勾股較為三率，求得四率即弦。又以半徑為一率，半徑角餘切為二率，勾股較為三率，求得四率即勾股和。迺與勾股較相加，折半為股；相減折半為句。
一率為半較角正弦即 sin θ，二率為半直角正弦即 sin 45o=
，三率為勾股較 = b – a = p。
四率為弦為 c =
=
。
一率為半徑，二率為半徑角餘切，三率為勾股較 = b – a = p。此說法項名達欠清晰，應為：
二率為半較角餘切cot θ，三率為勾股較p。
“半徑角”顯然為“半較角”。又若半徑為一則合。
四率為勾股和為b + a =
= pcot θ。
與勾股較相加，折半為股即
(cot θ+ 1) 。
與勾股較相減，折半為勾即
(cot θ – 1) 。
依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若兩角為 60 o 與 30 o 為未知數，而勾股較 = b – a= √3 – 1。
依上圖可知 θ = 15o 為已知數，其相關三角函數亦為已知。
c =
=
=
= 2。﹝注意 sin 15o =
﹞
b + a = p cot θ = (√3 – 1) ×
= √3 + 1。因為cot 15 o =
。
即可知 b = √3 及 a = 1。
或作如下之運算：
已知 cot 15o =
，又已知股 =
(cot θ+ 1) ，勾 =
(cot θ – 1) ，
b =
(cot θ + 1) =
(
+ 1) =
(
)
= √3。
a =
(cot θ – 1) =
(
–1) =
(
)
= 1。
答：勾股形之勾長為1，股長為 √3 及弦長為2。
由於代入數目所算出之答案正確，故代數式之答案亦正確。
﹝四﹞有兩角有勾股和，求勾、股、弦。
題意指已知勾股形之兩角及勾股和，求勾、股及弦。
解：
若直角三角形ABC之弦 AB = c，勾 BC = a，股 AC = b，皆為未知數；
若∠ABC = θ + 45o，另一角必為 45 o – θ，及 b + a 是為勾股和 = q 是為已知數。
先作圖如下：
先作勾股形ABC，延長股 AC至E，使 CE = CB = a，BCE 成為等腰勾股形，即 ∠BEC = 45o。AE = b + a = q 是為勾股和。
又在股 AC取一點 D，使 CD = CB = a，BCD 成為等腰勾股形，∠DBC = ∠CDB = 45o。所用之圖與上題相若。以下為已知角與勾股和圖：
上圖之 ∠ABD = θ 與勾股和 q 乃已知數，求勾、股及弦。
在 ∆ABE中，依正弦定理可知：
=
=
= c
c =
。此即為弦長。
又在 ∆ADB中，依正弦定理可知：
=
=
=
移項得 b – a = c√2 sin θ。將 c之值代入得：
b – a =
√2 sin θ = q tan θ。
因為 b + a = q，依公式即可得：
所以 b =
(q tan θ + q) =
(1+ tan θ)。
a =
(q – q tan θ) =
(1 –tan θ) 。
《下學葊算書》曰：
法以半較角餘弦為一率，半直角正弦為二率，勾股和為三率，求得四率即弦。又以半徑為一率，半較角正切為二率，勾股和為三率，求得四率即勾股較。如前加減得句股。
一率為半較角餘弦即 cos θ，二率為半直角正弦即 sin 45o=
，三率為勾股和 = b +a = q。四率即弦。
四率為弦為 c =
=
=
。此即為弦長。
又若一率為半徑，二率為半較角正切 tan θ，三率為勾股和即 b – a = q。
四率為勾股較為 b – a =
=
= qtan θ。故半徑為 1 則合。
與勾股和相加，折半為股即
(1+ tan θ) 。
與勾股較相減，折半為勾即
(1 –tan θ) 。
依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若兩角為 60 o 與 30 o ，而勾股較 = b +a = √3 + 1 = q。
又依上圖可知 θ= 15o。代入數字得：
c =
=
=
×
= 2。
﹝因為 cos 15 o =
﹞
已知 tan 15o =
，又已知股 =
(1+ tan θ) ，勾 =
(1 –tan θ)，
所以 b =
(1+ tan θ) =
(
+ 1) =
(
)
= √3。
a =
(1 –tan θ) =
(1 –
) =
(
)
= 1。
答：勾股形之勾長為1，股長為 √3 及弦長為2。
與上題同，由於代入數目所算出之答案正確，故代數式之答案亦正確。
《下學葊算書》提出一條非常重要之三角公式：
觀此四題，知勾股和較之比例，與半較角餘弦正弦等，而比其弦者，即為半直角正弦也。
文意指一勾股形ABC，所對之邊分別為a、b 及c，則
=
。
注意 θ 之位置及定義﹝見前圖﹞。
証明：
從前題可知勾股和 b + a =
× cos θ ---------------------- (1)
勾股較 = b – a=
× sin θ------------------------------------- (2)
(1) ÷ (2) 即可得：
=
。其實
可化簡為 cot θ。
依舊用正三角形之半驗算﹝見前圖﹞。若 a = 1，b = √3 及 c = 2，則：
=
，θ = 15o，所以 cot 15o =
。
至於引文之後半部可能指以下情況：
從 (1) 可知sin 45o =
。
從 (2) 可知sin 45o =
。
等號右方兩式相等。
以下為《下學葊算書》原文：