No.202 电源给电容器充电，多余的能量哪去了？

昨天《No.201 绳子绷紧为啥会产生热量？》推出后，一位好友提到：电容器充电储存的能量和电源做功之间也有类似关系。确实如此！

今天我们就来聊聊电容器充电电路中的能量关系，算作是No.201的番外篇吧。

为了让大家明确今天要研究的问题，我们照例还是先来一道看似很简单，却十分易错的题目：

如图所示电路中，电源电动势为  ，内阻不计，电容器的电容为  ，求从闭合开关到电路稳定的过程中，电源做功的大小。

在实际教学中，我们往往会遇到两种解法，看似都很有道理，但结果却相差了2倍。没错，又是2倍关系！和我们讲的传送带问题和拉绳子问题一样，两种解法相差了2倍！先来简单介绍下两种解法。

解法一：从能量转化的角度看，电源做功消耗的能量，全部转化为了电容器储存的能量。最终稳定时，电容器两端的电压  。则由电容器的储能公式易得电源做功：

解法二：电源做功为电源内部非静电力做功的数值，非静电力做功的效果是搬运电荷。在这个过程中，搬运电荷的总量为稳定时电容器极板的电量  。此时，结合电动势的定义，直接求电源做功：

解法二所求做功显然比解法一多了  ，而这恰好是电容器中所储存的电场能！

还记得皮带上轻放小物块问题中，所加外力做功（  ）恰好比物块获得的动能（  ）多了  ，这恰好也是物块所获得的动能。

还记得匀速上提绳子问题中，所加外力做功（  ）恰好比物体机械能增量（  ）多了  ，这恰好也是绳子所获得的动能。

我们已经知道了以上两种情况，多做的功，实际上等于产生热量的数值。

我们不禁要问：解法二中，电源多做功的  跑到哪里去了？又转换成了何种能量呢？

最直接的一种想法是，能量耗散的方向为产生电热，即电源做功除了转化为电容器储能外，还转化为了电热，且产生的电热大小与电容器储能大小相等。

但本题中明确忽略电源内阻，难道是导线上电阻产热？为了验证这一说法，我们不妨设导线的电阻为  ，则电路图可表示为下图：

这显然变成了一个RC电路的暂态过程问题，更准确说，是  电路零状态响应问题。

现在我们来看看在充电过程中，电阻  上到底产生了多少电热。

对上方电路，由  可得： 统一用  表示电容器的电压。又纯电阻满足欧姆定律，可以改写为：  其中电流随时间变化，由：  可得： 带入上式可得：  这显然是一个关于  的一阶常系数微分方程，移项后得： 两边分别对  和  同时积分可得：  其中  为积分常数，这里为了区分电容器电容  。

由初始条件：  时，  ，带入可得：  。

将积分常数带入上式可得： 所以，电流  可以表示为：  由此可以表示出电阻上热功率为：  对上面热功率，从刚闭合开关到电路完全稳定所用的时间积分，即可求得该过程中产生的热量。

但这段时间到底是多少呢？我们不妨看看电容器两端电压的表达式：  我们知道电路稳定时，  ，结合上式我们很容易看出只有当时间  时，才能满足稳定状态的电压关系。因此，我们有理由判断，上面积分的上下限应分别为  和  。

对于这个问题的理解，由上面电压随时间的函数关系，我们也可以得到电压随时间变化的函数图像，如下图：

从图像上我们可以看到想达到  ，确实需要时间趋向于无穷。这是  电路零状态响应中的基本问题，在此不再赘述。有兴趣的朋友可以参考秦曾煌老师编写的《电工学》。这里我们明确积分上下限即可。

对热功率积分可得： 结果为：  积分运算很简单，过程可由同学们自行完成。

从上面的结果我们看到，产生的热量确实是  ，和电容器储存的能量相等。与我们的预想是完全一致！

！

这里产生的电热竟然和电阻大小无关！这是为什么呢？

其实，在现实生活中，我们不可能得到没有内阻的电源，甚至很难获得没有电阻的导线。同时，电路的暂态过程中，除了存在大家熟悉的电热损耗以外，还可能存在电磁辐射损耗。

而真正当  时，电路的损耗仍然存在，且仍为  。我们可以认为，损耗完全以电磁辐射的形式耗散，以上计算过程中的电阻可以看做电磁损耗所对应的等效电阻。

当然，更接近于一般现实的情况是，上面计算中用到的  包含两部分，即产生电热的电阻和产生电磁损耗的等效电阻。

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至此，综合No.201期中的内容，我们可以得到下表：

表格第一行分别代表匀速提绳问题中，外力所做总共，绳子机械能增量，提绳过程中的产热。

表格第二行分别代表维持传送带匀速时，外力所做总功，物块动能增量，过程中摩擦生热。

表格第三行分别表示电容器零状态响应过程中，电源所做的总功，电容器储存的电场能，损耗的电能。

题目虽然是不同的问题，甚至横跨力学和电磁学，但我们仍然能从中找到相似的形式和思想，也许这也是物理可爱的一面吧！