中考数学压轴题分析：中点的证明

本文内容选自2021年北京市中考数学压轴题，考查中点的证明。

证明中点可以直接证明线段相等，也可以考虑在等腰三角形中利用三线合一进行证明。

本题的难点在于角度关系的转化。

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【中考真题】

（2021·北京）如图，在中，，，为的中点，点在MC上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，．
比较与的大小；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

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【分析】

先判断数量关系，再证明。本题只需利用证明即可．

按要求作出图形，再判断结论．可以发现点为的中点．

【思路】

①连接AN，证明AN⊥DE；

②构造全等三角形，直接证明NE＝ND．

【解法】

①如图，根据等角的余角相等，证明∠AMF＝∠ADN，得到点A、D、M、N四点共圆，易得∠AND=∠AMD=90°，结论得证．

②如图，过点E作EF⊥AB，易得EH∥MN，根据∠ABE=∠ABC=∠ACB，得△BEH为等腰三角形，进而得到MH=MD，再根据平行线分线段成比例，得到ND＝NE．

③如图，分别延长MN与BE，并交于点F，再过点E作EG∥BC，进而可以得到△BFM与△EFG为等腰三角形，由BE=DC，得到EF=EG=MD，那么再证明两个黄色的三角形全等，即△ENG≌DNM（ASA），即可得到结论．

④如图，与③类似，过点D作DG∥BF，先证明△EFM、△DMG为等腰三角形，得MB=BF，进而得到EF=DM=DG，再证明△EFN≌△DGN（ASA）即可．

⑤如图，过点E作EG∥BC，BE∥GH，易得四边形BEGH为平行四边形，只需证明CD=BE=GH=HM，进而证明EG=DM，然后还是证明△EGN≌△DMN（ASA）．

这里最难的就是要证明绿色的三角形即△GHM为等腰三角形，主要还是通过角来证明。∠EBH=∠EGH=2∠ABC，所以可以得到

∠MGH＝180°-∠BMG－2∠ABC

=90°－∠ABC

＝∠BMG．

所以就可以得到GH=MH了．

⑥当然，如图，往外作平行四边形也是可以的。仍然是证明GE=BE比较困难。主要还是角度的代换比较麻烦．

∠GBE=180°－∠G－2∠ABC

＝180°－∠ABC-（∠BMF+∠ABC）

＝90°－∠ABC

＝∠G．

解法多样，但都异曲同工．

【答案】

解：∵，
∴，
即，
在和中，

，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
如图，作交于，
由得：，
∵，
∴，
在和中，