中考数学压轴题分析：定点定长与定角定弦产生有关的问题

本文内容选自2021年长春中考数学几何压轴题。通过轴对称，产生了动点轨迹（定点定长）为圆的图形，再研究定角定弦的角度问题。

题目设计比较巧妙，难度不小，可以深入研究。

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【中考真题】

（2021·长春）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒．
（1）线段的长为　   　；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）当点在内部时，求的取值范围；
（4）当与相等时，直接写出的值．

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【分析】

（1）先根据勾股定理求AC的长，再得一半的长。

（2）分为在AB或BC上两种情况讨论，BP与P的路程之差的绝对值即可。

（3）根据轴对称的性质，可以发现AD=A′D，点A′到定点D的距离始终为定长AD的长度。那么点A′的轨迹即为以点D为圆心，AD为半径的圆。

由于点A′在△ABC的内部，那么就可以先画出图形，再确定临界点即可。也就是点A′在AB上或与C重合时即可。

（4）∠B为定角，虽然角度非特殊值，但是其三角函数值是可以求得的。那么点A与点D是定点，产生的角∠AA′D为定角，那么就是大家常说的定角定弦问题。只需以AD为弦构造一个圆，使得圆心角为∠B的2倍即可。

如下图所示：

以及还有另外一种对称的情况：

再根据角度相等，利用相似或三角进行求解即可。

【答案】解：（1）在中，由勾股定理得：
，
．
故答案为：2．
（2）当时，点在线段上运动，，
当时，点在上运动，．
综上所述，．
（3）如图，当点落在上时，，

，，，
在中，，
．
如图，当点落在边上时，，

，，，
在中，，
．
如图，点运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上，

时，点在内部．
（4）如图，过点作于点，
当时，

，
，
，
，
，
．
如图，当时，

，
，
，
，
，
在中，，，，
，
．
综上所述，或．