2021欧洲女子数学奥林匹克巴西代表队平面几何题解答

题3.锐角⊿ABC中,AC>AB,ω为其外接圆，P、Q分别为劣弧BC和优弧BAC的中点.过点Q作QM⊥AC于点M.求证：⊿AMB的外接圆过线段AP的中点.

证明：连QP、QC、QB，记∠QCM=∠QPA=α.

显然∠PAB=∠PAC=(1/2)∠A. A、B、P、C四点共圆，由三弦定理有:

AB·sin((1/2)∠A)+AC·sin((1/2)∠A)=AP·sin∠A

A、M、N、B四点共圆，由三弦定理有:

AB·sin((1/2)∠A)+AM·sin((1/2)∠A)=AN·sin∠A

两式相减有： CM·sin((1/2)∠A)=(AP-AN)·sin∠A

要证点N为AP中点，只需证明AP·cos((1/2)∠A)=CM.

另一方面,设ω的半径为R , 在直角⊿PAQ中有AP=2R·cosα,

在直角⊿CMQ中有CM=CQ·cosα,而CQ=2R·sin(90º-(1/2)∠A)= 2R·cos ((1/2)∠A)

于是AP·cos((1/2)∠A)= 2R·cosα·cos((1/2)∠A)，

CM=CQ·cosα=2R·cos ((1/2)∠A)·cosα，得AP·cos((1/2)∠A)=CM.

综上命题得证！

题7.已知⊿ABC的内切圆ω与三边BC、CA、AB的切点分别为D、E、F.在ω上存在两点K、L,满足∠CKE+∠BKF=∠CLE+∠BLF=180º.

求证：D、E、F到直线KL的距离相等.

证明：记内切圆圆心为I.由∠CKE+∠BKF=∠CLE+∠BLF=180º得：

∠BKC+∠EKF=∠BLC+∠ELF=180º,而∠EKF=∠ELF=∠AEF=90º -(1/2)∠A.

所以∠BKC=∠BLC=90º +(1/2)∠∠A=∠BIC.

于是B、L、I、K、C五点共圆，由内心性质知圆心M为劣弧BC中点.显然点I和点M都在KL的垂直平分线上，于是AM⊥LK，显然AM⊥EF，于是EF//LK,

四边形EFLK为等腰梯形,所以E、F到直线KL的距离相等.

另一方面，∠CLE+∠BLF=180º得：∠CLK+∠ELK=∠CLE=∠FBL+∠BFL,

而∠BFL=∠LKF=∠ELK,所以∠CBK=∠CLK=∠FBL.同理∠ECK=∠LCB.

设CK交内切圆为点T,由∠ECK=∠LCB知CL=CT,于是⊿CKE∽CET≌⊿CDL,

于是∠CLD=∠CTE=∠CEK=∠ELK.由CD和CE为内切圆切线知CL为⊿LDE

的L-陪位中线, 由∠CLD =∠ELK 知LK即为⊿LDE的L-中线，即LK平分DE，于是D、E到LK的距离相等，综上命题得证！

注：实际上L、K为⊿ABC的一对等角共轭点.