闲聊黎曼几何

古希腊大数学家欧几里德所的《几何原本》可以说是世界上最著名、流传
最广的数学著作了。《几何原本》系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践
和思考中获得的几何知识，并把人们公认的一些事实列成定义和公理，建立了
从公理、定义出发，来论证命题得到定理的几何学论证方法。《几何原本》是欧式几何的奠基之作。早期的几何学是人们关于长度、角度、面积和体积的经验总结，它来源于人们对所生活的空间结构的认识。那么，这里有一个有趣的问题是：动物也会总结出关于长度、角度、面积和体积的“几何学”吗？

让我们以深海鱼类为例，看一下它们所生活的空间结构吧。假定你就是一
头鲸鱼。在深邃的大洋里光线不是很有用，因为水中很暗。所以你主要靠声音
来感受外界、与外界交流。在你的世界中，两点之间的最短距离将是声波走过
的路径。对于你来说，这就相当于一条直线。这一点就是问题的关键。声音在大洋中的传播速度并非时时处处相等。在某一深度（大约2000 英尺或600 米）以下，它的传播速度跟与水面的距离成正比。所以声波传播的路径并非直线而是曲线。如果让一束从鲸鱼A 传给鲸鱼B 的声波先向下利用较深处的较高传播速度，然后再向上，这样到达鲸鱼B 所需要的时间就会短些。实际上我们可以更准确地描述这些曲线的性质：它们是圆心在洋面的圆弧！所以，对于鲸鱼来说，人类称之为“圆”的东西实际上是直线（两点之间的最短距离）。

在鲸鱼的几何里会出现一些令我们惊讶的事物，但它们完全不会让鲸鱼吃
惊。三角形三个内角之和小于180 度。那里没有长方形（四个角都是直角的四边形），但有直角五边形。最重要的是，在鲸鱼几何中曲率是负值。这就是说，最初平行的直线之间的距离会越来越大。这些现象都超出了欧几里德几何的范围，需要黎曼几何来解释。

古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中有五条公理。这五条公里中有一条公理与众不同，远比其他的公理复杂，这就是著名的平行公理。正是数学家们对这一公理的怀疑，产生了著名的黎曼几何。

平行公理：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。

19 世纪上半叶，有三位数学家分别独立地、大胆地提出对平行公理的设想：
或许在平行公理不成立的条件下也会存在有效的几何学。这将创建一种非欧几
何，这种几何将公然违反欧几里得在两千余年前设定的平行公理。就像哈密尔
顿给出的不遵守交换律的代数一样，非欧几何的想法同样离经叛道。要否定平
行公理或许需要更大的勇气，因为欧几里得、康德……以及两千多年来积淀的
悠远传统都是这条公理的坚强后盾。

这三位革命者中的第一个是最负盛名的数学家高斯，他在19 世纪初开始试
图证明平行公理。但大约在1820 年，他似乎逐渐确认，或许可以另外建立一种
非欧几何。然而他从来没有发表过他的想法，而只是在通信中模糊地对人有过
暗示。有关他这样做的原因的最好证据可以在他1829 年写给他的朋友贝塞尔的
一封信中找到。他在信中说，如果他发表了这一证明，他担心有人会惊讶的“大
呼小叫”。

非欧几何的第二位发现者是波尔约。波尔约的老爹是高斯学生时代的密友
老波尔约。老波尔约是一名数学教师，应该算是比较了解数学了，他试图警告他的儿子，让他不要去证明平行公理：“看在上帝的分上，我恳求你还是放弃吧。你要像恐惧情欲之火一样恐惧它，因为它也可能会占用你所有的时间、摧毁你的健康、让你心中无法安宁，并破坏你生命中的幸福。”

但他的儿子没有理会他的劝告，最终写下了一篇24 页的论文《宇宙中的绝
对科学》。老波尔约自然而然地给他的老朋友高斯看了小波尔约的论文。高斯不愧为伟大的数学家，他的反应完全出人意料，生动地体现了“数学家杀手”的职
业素养。高斯先将小波尔约的结果狠狠地夸奖了一番，然后郑重地补上一句画
龙点睛的话：“令郎所使用的方法以及他最后得到的结果，所有这些完全与我
自己的考虑一样。”最后，再给对手给以毁灭性的打击：“令郎发明的非欧几何
其实毫无新意”。

实践证明，高斯招数的威力是巨大的。不但表明这些结果高斯已经尽知，而
且还给于小波尔约以毁灭性的打击—- 终其一生，小波尔约再也没有发表过任何
一篇数学论文。

因为小波尔约放弃，这让非欧几何的大部分功绩归功于第三位发现者。他就是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。他最先在一份默默无闻的俄国杂志上发表了他的非欧几何文章；与小波尔约不同的是，他还继续撰写有关非欧几何的论文和书籍，最后于1837 年成功地在《克雷尔杂志》上发表了一篇论文。

虽然罗巴切夫斯基被人认为是俄罗斯第一流的伟大数学家之一，但令人遗憾的是，他没能在他有生之年得到他应该得到的赞扬。在俄罗斯，他发明的几何就叫作罗巴切夫斯基几何；西方数学家则更为贴切地称之为双曲线几何。确切地说，什么是双曲线几何或罗巴切夫斯基几何？考虑它的最佳方法是先忘记有关平行公理与欧几里得的一切。尤其必须忘记的是你从小到大就养成了的偏见，即欧式几何是物质世界“自然而然”产生的几何。

双曲线几何在人工雕凿方面并不比欧式几何多。令人吃惊的是，几个世纪以来人们就已经知道双曲线几何之外的另一种非欧几何了，只不过人们从来没有从这个角度来看待它。这就是球面几何。在一个球（例如地球）的表面上，三角形的内角和大于180 度。长方形不存在，但直角三角形是有的。记住地球的曲率！例如，可以画出一个有三个直角的三角形：从北极开始，沿直线画到赤道，然后沿赤道向东或向西绕过四分之一个地球，最后向北回归北极。这样你就会描出一个有三个90 度角的三角形。球面几何中的曲率是正值。换言之，开始时平行的直线（例如在赤道附近的经线）间的距离会越来越小，而且它们最后在南极与北极会聚。过去没有人把球面几何看作有别于欧几里得几何的一种几何，个中原因很简单：我们可以把一个球体看成是镶嵌在欧几里得三维空间中的形体，因此它的“非欧性质”并非显而易见。但不妨让我们设想，除了球面的范围之外你无法感觉到第三维。例如，或许可以把你想象成一只生活在一颗没有海洋的小行星上的蚂蚁，所以你想去哪里都可以。你完全没有空间的概念，没有地下的概念：你知道的一切就是你的球面世界的表面。这个世界的曲率是正值，那里的几何也不是欧几里得型的。我们可以称这种几何为蚂蚁几何。

我们现在可以看到，世界上并非只有一个“自然”的几何，而是存在着形形色色的几何，它们有着不同的曲率：这些几何从蚂蚁几何（球面几何），到人类几何（欧式几何），再到鲸鱼几何（双曲线几何）。但故事还没结束。这些只不过是具有不变曲率的几何。我们也可以想象那些曲率随地点改变的几何。它们可以是二维、三维甚至更高维的几何。高斯（或许受到他未曾发表的双曲线几何的影响）是第一个理解二维空间中变化曲率概念的数学家，而他的学生黎曼于1854 年将这一概念推广到了更高维的情况。就这样，他们师徒二人为20 世纪的一项划时代的发现做出了前期准备：爱因斯坦的广义相对论，这一理论假设我们的四维时空具有各处不同的曲率。如果没有罗巴切夫斯基、波尔约、高斯和黎曼，爱因斯坦将永远无法写下他的理论中的方程。