数学建模研究过程指导(精编版) Part VI
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说明：此文稿为朱浩楠老师于2018年11月-12月北京地区联校数学建模活动的课题研究阶段中，每天一篇发布给各课题组的研究方法指导文件的汇总。为方便更多的同学参考使用，现调整为正序后通过遇见数学公众号发布，版权归朱老师和遇见数学公众号所有。
目录
1如何开题
2如何进行问题的分析和数据的获取
3挖掘情境中数学模式的两种方法
4连续模型的使用范围、建立和求解方法
5从连续模型到离散模型&离散模型的常见类型及其研究方法
6确定性与不确定性
7以支持向量机为例谈机器学习的本质
8以神经网络为例谈深度学习的本质
9到底算法能不能算作数学模型或研究成果？
10科学中的香芬迷雾
11问题重述与基本假设部分的检查表
12符号约定部分的检查表
13模型建立部分的检查表
14模型求解部分的检查表
15模型分析部分和参考文献部分的检查表
16数学建模论文摘要的写作建议
17从高中数学体会数学概貌和数学建模
18感性认知如何驱动理性认知
19我们应该抱着什么心态去学习数学与科学
20新生代青年在变革时代中的机会与责任
模型建立部分的检查表 Part I
研究方法指导 13
【4】模型建立：
● 你的目标函数和约束条件（或动力方程与边界条件）由哪几部分构成，每部分是否具有清楚的含义？
● 你的模型是否已经形式化地用数学语言表达？这一点非常关键。
● 你是否能通过形式化的模型看到解的大致结构？这往往是求解某些困难模型的关键。
● 目标函数及约束条件（或动力方程与边界条件）中的那些函数，是否有确切的来源？这里指的来源只能在下面三条之中：文献中的记载、微分方程解出的函数、数据拟合的结果。
● 基本假设在模型中的哪些地方不可或缺？这种必要性是否已经在文中说清楚？
● 注意千万不要让模型和基本假设中的某几条矛盾！同时你需要看看模型建立的过程中有哪些基本假设是需要补充的，把它们补充到前面，注意需要有明确的、合理的（既，合乎日常道理的）理由。
● 模型中的哪些是你原创的？哪些是借鉴了前人的结果？是否已经在文中标示、强调并给予文献标注？
● 模型有时需要等价代数变形，以得到更清晰的数学结构。一个具有更清晰数学结构的模型会大大加分。注意：数学上称某个数学结构为“简洁的”，不是指它简单，而是指结构鲜明。
● 你的模型是否有多个？这时你要明确这几个模型之间的关系、它们结果之间的关系、它们约束条件和目标函数（或动力方程与边界条件）之间的关系。这些关系都要明确地写在文章中，这样能很好地体现你们的思维框架。
你的模型是否用到其他学科知识的迁移？如用到是否已在文中写明？注意：其他学科知识的迁移不同于简单的引用，前者需要看到问题的相似性，并对原有公式做适当变形，而后者是拿来就用。不要为了迁移而迁移，切忌牵强。
模型建立部分的检查表 Part II
研究方法指导 14
【5】模型的求解：
● 你的模型求解是采用形式化求解还是数值化求解？形式化求解得到的是类似于公式的东西，然后带入不同参数可得不同数值；数值化求解多用于无法形式化求解的情形下，通过先对参数赋值得到该组参数值下的特例模型，再通过计算机对此特例模型解数值解。一般来说拥有形式化解的模型很难建立，不必苛求。工程上常用数值化求解。
● 你的求解程序是否留有接口？更改参数即可计算生成新参数对应的解？这样做的好处是将来做灵敏性分析时非常方便，换了参数不必重新编程，只需更改接口处的参数值。
● 模型的求解所使用的数据最好是真实数据，如果实在无法得到真实数据可以用蒙特卡洛方法得到模拟数据，但是依据蒙特卡洛方法的要求，需要说明所使用的分布的合理性。真实数据的采用，需要团队具有一定查找数据的能力，这些数据都散见于互联网的各种网站及各地区统计年鉴中。
● 如果你的模型无法求解，有以下几种可能：
（1）模型建立得过于复杂，需回过头去简化；
（2）模型中有逻辑错误，需回过头去检查修改；
（3）基本假设不合理，需回过头去调整；
（4）软件不会用，可百度软件用法或查看软件自带的帮助文档；
（5）数据不正确，查看数据来源，有时需要几个来源来互相印证；
（6）数学知识不够，此时需要自学响应数学知识再回来求解，如果所需知识过于超过目前认知水平，需要调整基本假设和已建好的数学模型，建立更为初等的数学模型。
● 有时一个数学模型可通过多种方法求解，这时如果能比较不同解法，给出不同解法的特点及适用性分析，会有加分。
● 是否有专人对计算结果进行核算？有时采用一些间接证据会发现潜在错误。例如：如果某个数值超过最大值，或人口数出现负数，肯定是错误的。错误可能是由计算、数据、模型、假设引起，需从头梳理审视。
● 求解的精度要有设计，不同单位和需求对应的精度需求也不同，例如：人口数并不需要精确到人，日地距离一般也不需要精确到厘米等等。
● 有时模型既无法得到形式解也无法得到有效数值解，这时一般追求定性解。可参考人口模型时的定性分析方法及理念。
没有求解的模型是没有多少价值的，这一点一定要注意，所以要留给模型的求解以足够的时间和篇幅。
模型分析部分和参考文献部分的检查表
研究方法指导 15
【6】模型的分析：
● 模型的分析一般包括：灵敏性分析、优缺点分析、改进方案；
● 灵敏性分析有两种：运用公式和图表对比，最好都有；有的非连续模型无法运用公式，那就只做图表对比。
● 如果想呈现的图表过多，可只写结论，将辅证结论图表放在附录中，在正文中标明其位置。
● 图表呈现的东西应该有典型性，同时注意美观，该有的标注要明显。
● 灵敏性分析考察的是重要参数的变化对结果变化的影响，所以一般做图表比较时，横坐标为此参数的不同取值，纵坐标为模型在此参数下的结果。如果有多个参数，则采取固定变量法，每次只分析一个参数的灵敏性。灵敏性分析要在你之前用来求解的参数值的附近来做。
● 优缺点分析至少要占一页篇幅，优点和缺点各至少三条，需要言之有物，不要空泛；
● 优点的分析要聚焦于：模型的效果、模型的创新点、模型的灵敏性等。哪个有亮点就展开多说也可以分几条来说，那个没有亮点就少说或者不说。
● 缺点的分析要写出造成缺陷的原因，实事求是。造成缺点的原因要尽可能详尽，这样也是为后面的模型改进做好准备。
● 模型的改进要具体。例如：如果是因为数据不够，得不到更精确的解，可以在改进处说明是哪些数据不够，如果时间充裕应该如何采集，或者求助于哪些机构等等。总之务必要具体。
● 从模型分析非常能看出团队实力，内行一眼可辨，要予以充分重视。
【7】参考文献及附录：
● 参考文献务必全部在正文中有所标注，严禁出现空头文献（即正文中没有用但是参考文献中包含的文献）。
● 若时间允许，附录也要排版，并在相应位置添加文字说明。附录最好也有目录，方便查看。
附录中的程序需要指明所用语言，最好在代码中适当添加注释行。
数学建模论文摘要的写作建议
研究方法指导 16
数学建模论文的摘要(Summary)和期刊论文的摘要(Abstract)侧重点有不同。如果你的数学建模论文是为了发表在刊物上的，那么你需要写的是Abstract而非Summary；如果你的数学建模论文是研究报告或者是参赛用论文，那么需要写的就是Summary而非Abstract。下面给出两个例子来说明什么是Summary什么是Abstract：
图1 2017年IMMC大中华区特等奖论文的中文摘要（Summary）截屏，作者：（北京市十一学校）曾涵韬、刘孟臻、王筠琪团队。