【神秘数字 π 的计算】- 与数共舞: 数学建模与实验系列 03

数学篇

圆, 这是最重要的几何概念之一, 无论对于大圆还是小圆, 所有的圆都是相似的 - 具有完美的外形. 因此人们意识到对于圆来说周长与直径之比应该是一个相同的常数. 而这个神秘的常数, 数学家给它起了个名字 - 圆周率 π .

步骤一

如何确定 π 的真实值呢? 如果利用 Wolfram 语言可以得到你所指定的位数近似值, 下面列出 π 的 10000 位的有效数字.

步骤二

刘徽从一个内接正六边形开始, 然后是十二边形.... 当然每一步计算出 π 的估计值 都会更加精确. 而困难在于如何确定当前正多边形与下一个多边形周长之间的函数关系. 我们从正6边形和正12边形来推导一下, 看看得到什么样的结论.

步骤三

得到了边长的通项公式, 来定义相应的函数:

步骤四

现在可以进行面积的计算(也就是π值):

步骤五

现在考虑数值计算精度的影响，并非迭代越多精度越高：

步骤六

可见机器数(双精度)条件下超过196608边形后精度不升反降. 解决的方法, 或者采用 Mathematica 的无限精度的运算, 指定初始值 为 1, 这样可以保证在整个计算的过程中精度不会丢失:

再或者可指定初始值的精度值超过双精度限制，则迭代过程中将保持精度不会受到影响. 下例中采用小数点后100位有效数字，精度将始终上升。当然计算时间随之增长，以时间换精度(在此例中计算时间的延长可以忽略)。

上面就是利用 Mathematica (Wolfram语言) 创造出来动手中计算 π 值 的例子. 当然计算的方法实在多种多样, 未来也会用幂级数展开, 数值积分, 蒙特卡洛等方法进行求解.

好了, 现在让我们在下一篇的数学实验课堂再见. 这里感谢各位每一位看到这里的老师和朋友!

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