对称化构造与带绝对值函数的零点问题

这个导数题与上一篇文章中的圆锥曲线题目是同一张试卷上的,集中了零点定理找点,对称化构造,带绝对值函数的零点问题三个比较困难的考点,对于绝大部分学生都是很大考验,因此基础薄弱的同学并不是很适合看这篇文章。先看题目:

(I)(i)问不想拿满分比较容易,但是想拿满,就不那么容易了:

这里没有用分离变量做,原因就是假如使用分离变量,应用零点存在定理时寻找特殊点时相当恶心,假如不考虑找特殊点,那么分离变量也很好。

书归正传,我们先将a的范围缩小到负数,之后再进行讨论,这是常用的讨论技巧之一:

如果是不严格的做法,那么到这里就算结束了,因为显然x趋近负无穷时,φ(x)趋近正无穷,x趋近正无穷时,φ(x)也趋近正无穷,因此只要φ(x)极小值点小于0,总是存在两个零点。但以高考的标准严格来说,我们需要找到几个特殊点来确定这两个零点是存在的,其中左边的零点比较好找,φ(-2)>0,φ(-1)<0,难点就在于右边,直观的找法要借助放缩才可以,比较容易证明:当x>0的时候,e^x>x^2,因此φ(x)>x^2+ax+2a,这样特殊点就好找了:

上面过程中其实一共用了两个放缩,一个是x>0时e^x>x^2,其次我们为了说明2-a>ln(-a),还借助了放缩lnx≤x-1,上面过程中把这两个放缩的证明过程略掉了,读者注意自行补全。

总之要有应用零点定理的有关过程,步骤才算完整。接下来看(ii)问,显然这三个极值点有一个是0,因此我们相当于证明φ(x)的两个零点之和大于-2,这是一个典型对称化构造模型:

我们相当于证-2-x1在区间(x1,x2)内,通过φ(x)的单调性可知φ(x)当且仅当在(x1,x2)上为负,因此就可以把问题变为证明φ(-2-x1)为负了:

(II)问本质上没有多难,但很多同学对于绝对值的有关内容实在掌握的不好,算是知识点空白,因此就显得无所适从,已知条件通过一个简单的转化,会容易处理得多:g(x)=|f(x)|-m有n个零点,等价于y=f(x)与y=±m共有n个交点。

上面应用了放缩e^x≥ex,没有写证明过程,需要补齐过程时,x≤0的情形显然成立,而x>0的情形实际上可以利用(I)问中放缩时已经证明过的lnx≤x-1来证明:

这样就不用再构造新函数了。

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