数论中最受欢迎、最容易理解的难题——哥德巴赫猜想

• 哥德巴赫给欧拉的信（1742）

这是18世纪俄罗斯的一个夏夜。克里斯蒂安-哥德巴赫（ Christian Goldbach）正在给莱昂纳德-欧拉写一封信，提出一个数学猜想。两个多世纪后，没有任何数学家能够证明或反驳这个猜想，它仍然没有得到解决。

哥德巴赫提出的猜想是：

每一个可以写成两个素数之和的整数，也可以写成任意多的素数之和，直到所有项都是单位1。

在这个猜想中，他把1当作了素数。然后他在信的空白处提出了第二个猜想：

每个大于2的整数都可以写成三个素数之和。

欧拉是有史以来最伟大的数学家之一。数学中最漂亮和第二漂亮的方程都来自欧拉（Leonard Euler）。你可以在这里读到它们：

很多人真正爱上数学，是从欧拉公式开始的，它到底有怎样的魔力？

世界上第二美丽的等式，多面体欧拉定理，打开了一个新的几何领域

欧拉研究了哥德巴赫的猜想，并于同年6月30日给他回信。哥德巴赫说，这两个猜想中的第一个可以从下面的陈述中得出：

每个正的偶数都可以写成两个素数之和

哥德巴赫猜想的现代版本是：

每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和。

这就是哥德巴赫猜想，简单易懂，易于检验。即使是大数，一个简单的计算机代码也能检验出来。就像科拉茨猜想一样，已经对大量的数字进行了检验，但没有找到反例。

从一个“简单”的数学难题中窥视数学的本质，数学没有尽头

即使是一个小数字，如2566，也有37对这样的质数。它们是：

17+2549, 23+2543, 89+2477, 107+2459, 149+2417, 167+2399, 173+2393, 227+2339, 233+2333, 257+2309, 269+2297, 293+2273, 353+2213, 359+2207, 467+2099, 479+2087, 503+2063, 563+2003, 569+1997, 587+1979, 593+1973, 617+1949, 653+1913, 659+1907, 677+1889, 719+1847, 743+1823, 857+1709, 929+1637, 947+1619, 953+1613, 983+1583, 1013+1553, 1193+1373, 1259+1307, 1277+1289, 1283+1283

我们可以从哥德巴赫分区中直观地看到所有偶数是由两个素数组成的。如下图所示，从2到47的质数可以组成最大94的偶数。

• 从4到96的偶数的哥德巴赫分区。

为了更好地理解这个猜想，我们来谈谈素数。素数定理表明，如果随机选择一个整数m，它是素数的几率是1/ln(m)。

因此，如果n是一个大的偶数，m是3和n/2之间的数字，那么m和（n-m）同时是素数的概率将是：

通过启发式方法，将一个大的偶数n写成两个奇数素数之和的方法总数大约为

由于ln(m)<<√n，这个数随着n的增加而变成无穷大。为了让你们能自己检验一个数字是否满足这个猜想，我在下面添加了一个Python代码。读者可以在任何在线编译器上运行这段代码，甚至在你的手机上（无需安装任何东西）。

对哥德巴赫猜想也有不同的图表。将一个偶数n写成两个素数之和（4≤n≤1,000）的方法有很多，可以做一个漂亮的图。

• 将偶数n写成两个素数之和的方法（4≤n≤1,000）。

• 将一个偶数n写成两个素数之和的方法（4≤n≤1,000,000）。

可以看到，随着n的增加，将n写成两个素数之和的方法也在增加。

今天，"每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和 "的说法是哥德巴赫猜想的通常表达方式。这种形式也被称为 "强"、"偶 "或 "二进制 "哥德巴赫猜想。还有一个 "弱 "哥德巴赫猜想，即 "每个大于7的奇数都可以写成三个奇数之和"。它也被称为 "哥德巴赫弱猜想"，"奇数哥德巴赫猜想"，或 "三元哥德巴赫猜想"。

奇数哥德巴赫猜想的证明是由哈拉尔德-赫夫戈特在2013年给出的。

即使过了这么多世纪，可能也没有人知道我们如何证明或反驳这个猜想。虽然我们已经检验了非常多的数字，但仍然可能有一些数字不遵循这个猜想，只要有一个，这个猜想就不成立了。

匈牙利数学家乔治-波利亚在1919年提出了一个反例：1.854×10^361，但在1958年被C.Brian Haselgrove证明是错误的。