初中数学，瓜豆模型，干货系列

俗语云“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上有“种线得线，种圆得圆”。

平面内，动点Q随着动点P的运动而运动，我们把点P叫做主动点，点Q叫做从动点；当这两个动点与某个定点连线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与定

点构成的三角形形状一定，大小可能变，此时两个动点的轨迹形状相同。

瓜豆问题的本质是旋转、相似（包含全等）变换，往往与共点旋转（手拉手）模型相结合，考查类型有：

（1）确定动点轨迹；

（2）求运动路程；

（3）求线段最值、面积最值等.

'瓜豆'模型

一、种直线得直线（主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分）

1.

如图1，已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，连接OP，若Q为直线OP上一点（一般在线段OP上），且Q点到O点的距离与P点到O点的距离之比为定值k（k＞0且k≠1），即OQ/OP=k。

此时我们可认为Q、P两点与定点O连线的夹角一定（夹角为0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q点的运动轨迹也是直线；

如图2，另取一组对应的点P’、Q’，则OQ’/OP’=OQ/OP=k.

因而△OQ’Q∽△OP’P，相似比为k，可知从动点Q在平行于l的直线m上运动. 易判断点O到直线m和l的距离之比也等于k.

2.

如图1，已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，将射线OP绕着点O按确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度α（0＜α＜180°），得到射线OM，在射线OM上取一点Q，使OQ/OP=k（k为大于0的定值），此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q点的运动轨迹也是直线；

如图2，另取一组对应的点P’、Q’,则Q点的运动轨迹即为直线QQ’，∵∠POQ=∠P’OQ’=α，

∴∠POP’=∠QOQ’，

又∵OQ’/OP’=OQ/OP=k.

∴△OPP’∽△OQQ’.

特别的，当k=1时，

△OPP’≌△OQQ’.

当k≠1时，△OQQ’可看做由△OPP’绕着O点旋转并放缩（0＜k＜1时缩小，k＞1时放大）而来.直线QQ’可看做由直线l绕着点O顺时针旋转α角而来，0＜α＜90°时，两直线的夹角即为α.

相关例题

例子1 如图，在平面直角坐标系中，A（4,0），B为y轴正半轴上一动点，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则线段OC的最小值为_________.

分析：B为主动点，C为从动点；

方法一：与从动点有关的线段最值，优先转化为与主动点有关的线段最值，将线段OA绕着点A顺时针旋转60°，得到线段O’A，构造全等三角形可实现线段的转化；

方法二：两动点与定点A连线的夹角为定值（60°），到点A的距离之比为定值1（即CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主动点B的轨迹为射线，则从动点C的轨迹也为射线，确定其轨迹后，依据“垂线段最短”求OC得最小值.

证明：

方法一：如图，将线段OA绕着点A顺时针旋转60°，得到线段O’A；连接O’B，易证△AO’B≌△AOC，则OC=O’B，即求O’B的最小值；由于O’为定点，点B在y轴正半轴上运动，

由垂线段最短，知O’B⊥y轴时，O’B最小，连接OO’，则△AOO’为等边三角形，

作O’H⊥OA于H，此时O’B=OH=1/2OA=2，即OC的最小值为2.

方法二：

如图，当点B位于原点时，对应的点C位于C1（2，-2√3）处，当点B位于B2（0，4√3/3）时，对应的点C位于C2（0，-4√3/3）处，则点C的运动轨迹为射线C1C2，当OC’⊥C1C2时，OC’最小；易证△AB2O≌△AC2C1，∴∠AC2C1=∠AB2O=60°，则∠OC2C'=60°，∴OC’=(√3/2)OC2=2，即OC的最小值为2.

【小结】:

1.动点引起的最值问题，经常需要确定动点轨迹；

2.两种方法中，均有两个等边三角形构成“共点旋转（手拉手）”模型，会伴随产生一组全等三角形；

3.方法二中，由于从动点的轨迹为射线，因而先确定其端点，再找一组特殊位置的主动点和从动点（目的是便于计算），即可确定从动点的轨迹；

4.严格来说，y轴的正半轴不包括原点，因此C点的轨迹不包括点C1.