集合是数学之基

集合是高中数学入门第一章，在此之前的初中数学里会不经意地提及，如不等式的解(或解集)，线段的中垂线是到线段两个端点距离相等的点的集合(还有角平分线的定义)等等。在高中数学中除了第一章专门学习集合的概念与运算，而且标题是集合与函数(不等式)，也就是集合的一个作用是定义函数，函数是在两个集合之间建立一种对应关系，根据这个对应关系为定义域这个集合中的任何一个数ⅹ都可以在值域这个集合找到唯一的对应数y，并记为y=f(x)。集合在其他章节中会偶尔出现，如在简易逻辑章有些教辅资料会提及命题的充分必要与集合的包含关系相对应，然后在概率章描述事件的构成及其逻辑关系与运算关系时会看到集合知识的身影，再就是在立体几何中描述几何元素的位置关系时用了集合的符号，除此之外其他章节也没有特别涉及与集合知识的关联，似乎看不出集合在数学中有什么特别重要的地位。那么为什么说集合是数学之基呢？

首先，集合是数学知识的一个胚胎，孕育了所有的数学知识。如果学过高等数学之后对这一点会有深刻的体验，每一个数学分支(如数学分析，高等代数，微分几何，抽象代数，拓扑学，流形)都必须先建立相关的集合及运算，在对应的集合论基础上进行问题研究。对于中学数学而言或许也可管中窥豹可见一斑，高中数学只涉及函数，三角，代数，几何，概率统计等初等数学，如前所述其中一个共同的数学知识就是集合，虽没有深度揭示集合的作用，却也让人感觉到集合的影响力。

其次集合体现了所有的数学思维特点。集合概念定义的本质属性有两点:其一，此集合内的所有元素都具有某种共同的性质，其二，具有该性质的所有元素都在此集合内。揭示不同元素的共同属性并将具有共同属性的元素视为一个整体，化多为一，化繁为简，这是异中求同的抽象概括思维，也是用部分来描述整体的代换思维。集合的表示方法有三:描述法，列举法，图形法，也是数学的三种基本表示法，如函数的解析式，列表法，图象法等等，其中就蕴含了数学的符号表示与演算，抽象演绎，简单归纳，直观想象等诸多基本思维形式。集合中的元素具有三性，确定性蕴含了数学思维的严谨性，互异性蕴含数学思维的简约性，无序性蕴含数学的灵活性。元素与集合的从属关系及集合与集合的包含关系蕴含数学概念之间的逻辑推理演绎，集合的三种运算也对应着基本的数学思维，交集，两个集合的公有元素，并集，两个集合元素的通性，这是异中求同的交轨思维与和合思维，补集，一个集合在全集中的剩余元素，这是整体思维之下正难则反的逆向思维。

无集合不成数学，集合是数学王国唯一的通用语言。事实上，一个数学概念就是定义了一个集合。当我们用集合来定义一个数学概念时，这个概念便具有了严谨性，抽象性，简约性，灵话性等诸多数学特性。举个例子，如定义函数的单调性，我们初中描述为因变量y随自变量x增大而增大(或减小)，这么描述意思很清哳(仅对憧汉语的人而言)，图象直观想象也没有障碍，但却有一个很大的问题，给一个函数除了画图象直观判断，你无法演算论证其增减性。用集合语言来定义就很好的解决了，定义域集合A中任意的两个数ⅹ1<x2，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(ⅹ2)，则函数f(x)为增(减)函数。这里"任意的...都有..."就是典型的标准的集合语言，这样的定义范式在数学里比比皆是。这个单调性的定义不仅严谨简约，由于符号化，更便于演绎推理的运算操作判断函数的增减性，定义中内蕴操作程序，任取两个自变量，比较两个函数值的大小。将概念的定义与运算程序和合为一，是定义一个数学概念的至高境界，还有函数的奇偶性，周期性，根式，对数式等等数学概念都达到这种境界。