马同学
泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
先来感受一下：
设nn是一个正整数。如果定义在一个包含aa的区间上的函数ff在aa点处n 1n1次可导，那么对于这个区间上的任意xx都有：f(x)=N∑n=0f(n)(a)n!(x−a)n Rn(x)f(x)=∑n=0Nf(n)(a)n!(x−a)nRn(x)，其中的多项式称为函数在aa处的泰勒展开式，Rn(x)Rn(x)是泰勒公式的余项且是(x−a)n(x−a)n的高阶无穷小。
----维基百科
泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果a=0a=0的话，就是麦克劳伦公式，即f(x)=N∑n=0f(n)(0)n!xn Rn(x)f(x)=∑n=0Nf(n)(0)n!xnRn(x)，这个看起来简单一点，我们下面只讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。
N∑n=0f(n)(0)n!xn∑n=0Nf(n)(0)n!xn展开来就是f(0) f′(0)x f′′(0)2!x2 ⋯ f(n)(0)n!xnf(0)f′(0)xf″(0)2!x2⋯f(n)(0)n!xn，f(0)f(0)，f′′(0)2!f″(0)2!这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。
可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于YY轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。
那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？
怎么才能让x2x2和x9x9的图像特性能结合起来呢？
我们来动手试试看看系数之间如何压制的：
通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心（虽然是隐函数，意思一下）：
exex是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有ee就是这么任性。
ex=1 x 12!x2 ⋯ 1n!xn Rn(x)ex=1x12!x2⋯1n!xnRn(x)
增加一个14!x414!x4看看。
增加一个15!x515!x5看看。
可以看出，1n!xn1n!xn不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近exex。并且nn越大，起作用的区域距离0越远。
sin(x)sin(x)是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。
sin(x)=x−13!x3 ⋯ (−1)n(2n 1)!x(2n 1) Rn(x)sin(x)=x−13!x3⋯(−1)n(2n1)!x(2n1)Rn(x)。
同样的，我们再增加一个17!x717!x7试试。
可以看到17!x717!x7在适当的位置，改变了x−13!x3 15!x5x−13!x315!x5的弯曲方向，最终让x−13!x3 15!x5−17!x7x−13!x315!x5−17!x7更好的逼近了sin(x)sin(x)。
一图胜前言，动手看看sin(x)sin(x)的展开吧：
拉格朗日中值定理：如果函数f(x)f(x)满足，在[a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)上可导，那么至少有一点θθ(a<θ<ba<θ<b)使等式f′(θ)=f(a)−f(b)a−bf′(θ)=f(a)−f(b)a−b成立。
----维基百科
数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：
这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项Rn(x)Rn(x)我们一直没有提。
余项即使用泰勒公式估算的误差，即f(x)−N∑n=0f(n)(a)n!(x−a)n=Rn(x)f(x)−∑n=0Nf(n)(a)n!(x−a)n=Rn(x)
余项的代数式是，Rn(x)=f(n 1)(θ)(n 1)!(x−a)(n 1)Rn(x)=f(n1)(θ)(n1)!(x−a)(n1)，其中a<θ<xa<θ<x。是不是看着有点像了？
当N=0N=0的时候，根据泰勒公式有，f(x)=f(a) f′(θ)(x−a)f(x)=f(a)f′(θ)(x−a)，把拉格朗日中值定理中的bb换成xx，那么拉格朗日中值定理根本就是N=0N=0时的泰勒公式。
结合拉格朗日中值定理，我们来看看N=0N=0的时候，泰勒公式的几何意义：
当N=0N=0的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么N=1,2,⋯N=1,2,⋯呢？
这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。
还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？
根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。
如上图，把曲线等分为nn份，分别为a1a1，a2a2，⋯⋯，anan，令a1=aa1=a，a2=a Δxa2=aΔx，⋯⋯，an=a (n−1)Δxan=a(n−1)Δx。我们可以推出（Δ2Δ2，Δ3Δ3可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：
f(a2)=f(a Δx)=f(a) Δf(x)f(a2)=f(aΔx)=f(a)Δf(x)
f(a3)=f(a 2Δx)=f(a Δx) Δf(a Δx)=f(a) 2Δf(x) Δ2f(x)f(a3)=f(a2Δx)=f(aΔx)Δf(aΔx)=f(a)2Δf(x)Δ2f(x)
f(a4)=f(a 3Δx)=f(a) 4Δf(x) 6Δ2f(x) 4Δ3f(x) Δ4f(x)f(a4)=f(a3Δx)=f(a)4Δf(x)6Δ2f(x)4Δ3f(x)Δ4f(x)
也就是说，f(x)全部可以由aa和ΔxΔx决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限Δx→0Δx→0，就可以推出泰勒公式。
多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如f(x)=2−3xf(x)=2−3x，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时f(x)f(x)会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到2−3×4=−102−3×4=−10，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了...”。但是ln(x)ln(x)阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”
----《微积分之倚天宝剑》
泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把sin(x)sin(x)进行泰勒展开进行计算的。
泰勒公式还可以把问题简化，比如计算，limx→0sin(x)xlimx→0sin(x)x，代入sin(x)sin(x)的泰勒展开有： limx→0sin(x)x=limx→0x o(x3)x=1limx→0sin(x)x=limx→0xo(x3)x=1，其中o(x3)o(x3)是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小，limx→0o(x3)=0limx→0o(x3)=0。解题神器有没有？