广东2021中考数学第10题——学生与老师的对话

【广东中考2021第10题】设O为坐标原点，点A，B为抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，连接点A，B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为___________

分析：在试探画图的过程中，点A，点B的位置是相制约的，确定点B，便可确定点A，理论上此时直线AB的方程含有一个参数，高中的学生部分可能会意识到这条直线可能过定点了，可是这种含参直线过顶点对高中生都是难点啊，你现在的对象是初三毕业生，它们解析的思想还没有形成啊，是不是有点着急了？

第一步，也是最难的一步，要发现直线AB过定点P(0,1)

【高中解法】设点

，

,由OA⊥OB，可得

（斜率之积或数量积都可以，这个式子说明了A，B两点的约束关系）

故，

所以直线过定点P(0,1)。（当然这里将

用

换掉可能更容易发现过定点）

即OP=1为定值，后面的事情对高中生来说问题不大了，由射影定理（相似）可得：

当且仅当

时，取“=”。故

【初中解法】设点

，

学生：有个OA⊥OB，OC⊥AB，嗯，怎么办？勾股定理？等面积法？互余？斜边上的中线？

老师：它想告诉你A，B两点相互约束，初中应对这种中间有90°的，用一线三等角的相似形解决。好，我先试试，看能得到啥？

如图，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥x轴于点G，△OFB

△AGO

故，

学生：嗯？啥嘛？这有何用？

老师：你再试试求求AB的解析式

学生：什么，一个点都没定，你让我求这个直线的解析式，

设

，代入A，B两点得：

（你确定平时初三的学生看到全是字母的方程组不怕？我是数学课代表我不怕），解得:

,即

，什么玩意儿？这是啥？

老师：你看看这里有没有个

，

学生：哦哦哦，

，那

，老师，我又不会了，

老师：你看这个方程，不论s，t是多少，只要x=0,y都等于1

学生：哦哦哦，这条直线过定点（0，1），哇，我发现了这个秘密咧，这样OP就是定值1了，老师，我会了。

由射影定理（相似）可得：

，设PD=x，则

当

时，

有最大值

，所以CD的最大值为

老师：有没有初等几何的处理方法？

学生：哦，∠OCP=90°，所以点C在以OP为直径的圆上运动，

CD的最大值即为该圆的半径

学生：老师，我终于弄懂了

老师：嗯，不错不错，恭喜你高中可以毕业了。