数理史上的绝妙证明：万有引力平方反比律的证明 | 贤说八道
开普勒总结出了行星运动三定律，牛顿用平面几何证明了椭圆轨道、双曲轨道都对应平方反比的吸引力，牛顿第二定律加微积分证明了平方反比的吸引力作用下运动轨迹为圆锥曲线（双曲线、抛物线、椭圆、圆等）。
撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）
行星运动的开普勒三定律
行星的运动，恰巧是人的特征尺度上可研究的问题。行星的量度足以为人眼所分辨，其运动的特征时间又与人的特征时间（年、日）相吻合[1]。人类数千年关于行星在天空中位置变化的观测，在1602年达成了质的跃变。那一年，德国天文学家开普勒指出，行星绕太阳的运动在相同的时间内扫过相同的面积。这后来被称为开普勒第二定律。用近代物理的语言表述，它说的是有心力场内的运动保持角动量守恒。1605年开普勒又指出行星绕太阳运动的轨道是太阳居于焦点之一的椭圆。这后来被称为开普勒第一定律。开普勒第一、第二定律收录于Astronomia Nova （《新天文学》）一书。1619年开普勒宣告了他的第三定律，行星轨道周期的平方与其半长轴的立方成正比。第三定律收录于开普勒的Harmonices Mundi[2]一书。
一般书里介绍开普勒三定律，基本上是照着字面一成不变地转述：1）行星轨道为椭圆，太阳在椭圆的焦点之一上；2） 行星轨道在相同的时间内扫过相同的面积；3） 行星轨道周期的平方与其半长轴的立方成正比。至于从近代物理的角度看这三定律的含义是什么，内在关系是什么，未来有什么进展，还有对中国人来说比较重要的汉译是否正确，则鲜有论及。请允许笔者稍作补充。
关于第一定律，开普勒一开始考虑的轨道是卵形线，毕竟他手里只有有限的、不准确的关于火星和太阳的观测数据，连起来不会看起来如完美的椭圆。但那时候没人知道卵形线的方程——卵形线的方程还得等二百四十多年才由麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879）给出。椭圆作为行星轨道的选择有点不那么自然而然，一个可能的原因是椭圆有两个焦点（focus） 而天上只有一个太阳，凭什么太阳在这个焦点而不在那个焦点上？实际上，天上有一个太阳，太阳是个大火炉，火炉才是拉丁语focus （furnace）的本义。后来我们知道，椭圆，与双曲线、抛物线、圆、直线、点等几何图形一样，都是圆锥曲线的特例，本质上是一致的，都可以是平方反比力场作用下物体的运动轨迹。抛物线就只有一个焦点，而椭圆也有只需一个焦点的定义——到一点的距离和到一条直线距离之比为小于1的常数的点的集合是椭圆！第一定律确定了行星轨道的全局几何性质，第二定律确定的是行星在轨道不同位置上的运动快慢问题。用现代物理语言来说，行星绕太阳运动，其角动量守恒。第三定律讲述的轨道大小（由椭圆的半长轴, a, 和偏心率表征） 与运动快慢（与轨道的大小和周期, T, 有关）之间的关系，
。从现代物理的角度来看，第三定律引入了能量的问题，能量大的椭圆轨道离太阳更远以至变成抛物线或者双曲线。也就是说，行星轨道问题关系到的物理量分别是角动量
和能量
。后来的尼尔斯·玻尔（Niels Bohr, 1885-1962）熟知这一点，所以他为了给电子绕氢原子核运动的能量只有一些
的分立值而非如同在经典的太阳-行星模型中那样能量是连续的找个恰当理由，只能到角动量上去找，而角动量恰恰与量子力学的标签——普朗克常数 h——有相同的量纲，于是有了神奇的所谓玻尔量子化条件
[3]。
那么，开普勒的这三个定律后来有证明吗？或者，挑个软柿子捏，如何证明行星的轨道是椭圆。证明的意思是，找个理由，从这个理由顺着严格的数学逻辑能到达椭圆这个几何图形。
牛顿的几何证明：从椭圆到平方反比的引力
早在开普勒时期，人们就已经意识到太阳与行星之间有随距离增大而渐弱的引力（gravity, gravitation），确切地说是与距离平方成反比的引力。到牛顿时期，想到或者愿意接受万物之间皆存在平方反比引力的人已经很多了。但是，如何证明这平方反比引力
是这宇宙的决定性力量，也就是说如果存在万有引力这个理由的话，如何从万有引力导出椭圆形的行星轨道？这个证明，利用牛顿第二定律加上微积分技术是容易得到的（参见Herbert Goldstein，Classical Mechanics）。但牛顿那时手里还没有成熟的微积分技术，他是用欧几里得几何证明的。这个证明在牛顿的《自然哲学的数学原理》一书中不足一页 （因为老是引用前面的结果），后来钱德拉塞卡（Subrahmanyan Chandrasekhar，1910-1995）给拓展成了好几页才让一般人看得懂。
牛顿在《自然哲学的数学原理》第一编第三部分（Book 1，section 3）里假设物体沿椭圆轨道运行，求证指向椭圆一个焦点的力的定律。紧接着假设物体沿双曲线之一支运行，求证指向焦点的力的定律。牛顿证明了力应当服从平方反比律。严格说来，这应该看成是在椭圆（双曲）轨道的前提下，对太阳-行星间的引力遵循平方反比律的证明。牛顿的证明，不好懂，愿意证明自己的平面几何连皮毛都没学到的读者可以挑战一下自己。原文不长，照录如下。如图1，S 是椭圆的焦点之一。作SP交椭圆直径DK于点E，交纵标线（ordinate） Qv于x。作平行四边形QxPR。显然，有EP等于半长轴AC，这是因为如果从椭圆另一焦点H作HI与线EC （DK）平行，因为CS=CH，于是有ES=EI。EP 为PS与PI之和的一半；也就是PS与PH之和的一半（HI 与PR平行，而根据椭圆的性质，
） 。但PS+PH=2AC （椭圆的定义）。作QT 垂直于SP，如果用 L 表示椭圆的通径（principal latus rectum） 或者2BC2/AC， (L×QR) :(L×Pv)=QR:Pv，也即PE或AC与PC之比。进一步地，有(L×Pv):(Gv×vP)=L:Gv ；且 (Gv×vP):Qv2=PC2:CD2。又（根据引理7的推论2）， 当Q点接近P点时，Qv2= Qx2。Qv2或者Qx2 比QT2 等于EP2:PF2=CA2 :PF2=CD2:CB2。将这些比组合后，得到 L×QR/QT2 等于 AC×L×PC2×CD2，或者2CB2×PC2×CD2 ，与 PC×Gv×CD2×CB2之比也是 2PC:Gv。但当Q点与P点接近重合时，2PC=Gv， 因此 L×QR=QT2 。将这些等式乘以 SP2/QR，得 L×SP2=SP2×QT2/QR。于是，根据命题6中的推论1和推论5，向心力与 L×SP2 成反比，即与距离SP的平方成反比。
图1. 牛顿《原理》一书第一编、第三章问题6的图
实话实说，读到这段时，我不知道牛顿证明的思路是从哪里来的。与300多年前的牛顿相比，我们对阿波罗尼乌斯（Appolonius of Perga，ca. 245-ca.190 BC）的圆锥曲线根本没学会。还有一个小迷惑，我不知道为什么管Qv叫ordinate。建议真想弄懂的读者，阅读钱德拉塞卡对牛顿这本书的通俗版解读。
利用微分方程的证明：从平方反比的力到开普勒三定律
太阳-行星体系是典型的两体问题（two-body problem）：两个物体相互间的作用决定了它们的运动方式。由于这两个物体不受外界的作用，它们作为一个整体是作惯性运动的（这实际上是马赫的力学两个基本原理之第二），因此所谓的两体的运动，指的是两体之间的相对运动。若两物体之间的作用力是沿着两者之间的连线的，称为有心力（central force）；万有引力是有心力，且力的大小与距离的平方成反比。我们的任务是证明：若两体之间的吸引作用力是平方反比的，则相对运动的轨迹是椭圆。
如果两体之间的作用力是有心力，则角动量 r×p 是守恒的。
，右边第一项根据定义
，所以为零；根据牛顿第二定律
，若 f(r) 是有心力，则第二项也是零，故 r×p 是守恒的。这意味着，两体体系的运动只发生在与角动量 r×p 垂直的平面内。行星绕太阳的运动就限制在一个平面内；碰巧的是，太阳系几大行星的轨道都大致在一个平面内，是为黄道面（ecliptic plane）。这一点是很久以前就观测到的事实。
既然两体系统的运动限制在一个平面内，且对太阳-行星这种质量相差太大的情形，可以进一步假设太阳-行星体系的质心就在太阳上，则该系统的拉格朗日量可写为
，定义
。经典力学认为物体的轨道就是让
最小的路径，需满足的条件就是欧拉-拉格朗日方程。由关于变量 θ 的欧拉-拉格朗日方程，可得
，即
为常数，而
恰是轨道在单位时间内扫过的面积—这证明了开普勒第二定律。强调一遍，太阳-行星间的引力是有心力 （无需是平方反比的）保证了行星绕太阳在一个平面内运动，且相同时间内扫过同样的面积。这即是说，开普勒第二定律只要求太阳-行星间的引力是有心力。
关于变量 r 的欧拉-拉格朗日方程为
。若相互作用力是平方反比的， 即
。记
，u=1/r ，方程变为
， 其一般解的形式为
，其中e是由体系能量E决定的参数，可由此问题由能量守恒入手的推导得到，
。参数 e 是轨道的偏心率: e>1 (E>0) ，轨道是双曲线的一支；e=1 (E=0)，轨道是抛物线； 0<e<1 (E<0) ，轨道是椭圆；e=0，轨道是圆。这证明了开普勒第一定律，且揭示了椭圆轨道是平方反比的万有引力作用下体系总能量小于零时的特例。
关于开普勒第三定律，为了让更多读者看懂证明，可以考察轨道为圆（本质上还是椭圆）的简单情形（老天有眼，地球的轨道大约就是个圆，e~0.016710219。请思考一下这对生命的产生意味着什么）。此时，圆轨道上的行星作匀速圆周运动，则
，可得
， 即轨道的周期平方与轨道尺度的三次方成正比。
多余的话
人类所处的近邻且可观测的世界，开启了人类的智慧思考。行星在天上的轨道，恰好是与人类尺度相恰的现象。行星轨道的开普勒三定律，是建立在零星的观测数据上的，但更多地还是建立在理性思考上的（天上哪有轨道啊）。从数据到椭圆这样的几何图形，到单位时间扫过相同面积以及周期平方与轨道大小的立方成正比这样严格的关系，反映了人类理性思考的威力，这些可都是宇宙的秘密啊。这些言之凿凿的严格关系，若能证明是某些原理的必然结果，那才见人类理性思考的威力呢。这个原理，就是经典力学中的最小作用量原理[4]，与之相比，满足平方反比律的万有引力倒似是条件层面的了。从最小作用量原理和万有引力到开普勒三定律的证明，那就看数学的能耐了。从前和数学不分家的时候，物理学才是真物理学。
满足平方反比律的万有引力，
，其中牵扯到的物质特征，或者叫标签，是质量 m。质量 m 是个标量，而且是非极性的标量 （m>0）。与此相对照，满足平方反比律的库伦力，
，其中牵扯到的物质特征是电荷 q 。电荷 q 是个标量，但却是极性的标量，可正可负。电的世界比起引力的世界，就更精彩啦。洞悉电的世界之精彩，需要更加复杂的数学。不过，人类为此付出的努力，回报是巨大的，且在意想不到的方向上。比如，对电磁学之狄里希利（Johann Lejeune Dirichlet, 1805-1859）问题的研究，在20世纪带来了有限元方法，极大地提升了人类的工程能力。扯远了，打住。
注释
[1] 一点都不奇怪。地球和它的行星兄弟们的特征时间都是由它们同太阳(日)之间的相互作用决定的，都差不多。而人类的特征时间，又是由日-地-月系统所决定的。
[2] Harmonices Mundi， 汉译为“宇宙的和谐”，大谬也。Harmonices 不是啥和谐，是“组装到位”。本书讲宇宙的体系(太阳，行星，远处的星星)是如何组装的。Harmonic mean的汉译调和分析中的调和大约是正确的。
[3] 量子力学是经典力学的自然延续，没有革命。
[4] 正确的译法是最少动作原理，不解释。
建议阅读
1.Max Caspar, Johannes Kepler （德语版）, W. Kohlhammer Verlag （1948）; Kepler （英语版，C. Doris Hellman译）, Dover Publications, Inc. （1993）.
2. David Oliver, Shaggy steed of physics, 2nd edition, Springer（2004）.
3.Subrahmanyan Chandrasekhar, Newton’s Principia for the Common Reader, Clarendon Press （2003）.
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