举个栗子说|核心素养之直观想象怎么考？
一、直观想象是什么？
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。（概念内涵）
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。（学科价值）
直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。（学生表现）
通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。（具体内容）
二、直观想象怎么考？
不同名词、动词...对应不同水平......
呵呵！！！！！！！！！！！！
详见下面列表：
（请左右对照，仔细体会！）
（点击图片，可大图阅读）
你看懂了吗？
字太多，
句子太啰嗦。
唉！！！！！！！
请左右对照，仔细揣摩！
| 左 | 右 |
|
...在熟悉的情境... ... |
...在关联的情境... ... |
| … | … |
| … | … |
原来
水平一、水平二、水平三（略）
都分四个小段。
每个小段依次是：
情境与问题、
知识与技能、
思维与表达、
交流与反思。
（我重读一遍）
每个小段依次是：
情境与问题、
知识与技能、
思维与表达、
交流与反思。
如下表所示：
结构是
.
左右对照揣摩发现：
情境有三种，
分别是：生活情境、数学情境、科学情境
层次有三个
分别是：熟悉的、关联的、综合的
问题有三类
分别是：简单的、较为复杂的、复杂的
上述三个要素是构成数学核心素养水平划分的基础。
水平一：熟悉的情境，简单的问题；
水平二：关联的情境，较为复杂的问题；
水平三：综合的情境，复杂的问题
哈哈，排列组合。
.
三、案例剖析
题目来了，请仔细阅读。
案例1：拼剪几何体问题
（2002年全国卷数学（文科）第22题）
（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图3和图4），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图3、图4中，并作简要说明；
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图5），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图5中，并作简要说明．
本题是一种拼剪手工游戏（问题与情境），
要求学生将三角形拼剪成正三棱锥与正三棱柱、并比较体积大小（知识与技能），
在图中用虚线标出拼剪方法，并作简要说明（思维与表达）。
本题不提供剪刀、纸片，必须依靠学生的直观想象来解决问题。
在问题（1）中，只要学生能够想到沿3条中位线折起即可拼成正三棱锥，就可以认为学生达到直观想象素养水平一。
关于正三棱柱，需要学生思考各个面的特点：3个侧面是大小相同的长方形、2个底面是大小相同的三角形，三角形的边长和长方形的短边长度相同等。因此，从什么地方剪，怎样折，如何拼，对学生的空间想象能力有很高的要求，能够合理地给出拼剪方法可以认为学生达到了直观想象素养水平二。
问题（2）重点考查了学生的创新意识和思维过程，评分遵循了满意原则和加分原则。
本案例还考查了学生的数学抽象和逻辑推理素养。
这是胡凤娟,保继光,任子朝,陈 昂等专家的案例.
案例2：圆柱体截面问题
【目的】说明直观想象素养的表现和水平，体会满意原则和加分原则。
【情境】在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水。
（1）将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可能呈现出的所有几何形状，画出直观示意图。
（2）参考图30，对上述结论给出证明。
【分析】回顾课程标准中相关内容要求，“利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。”
如果学生能够比较完整地回答（1）的第一个问题，可以认为达到直观想象素养水平一的要求；
能比较完整地回答（1）的第二个问题，可以认为达到直观想象素养水平二的要求；
能比较完整地回答（2）的问题，可以认为达到直观想象素养水平三的要求。此题也考查逻辑推理等素养。
例如，下面的回答。
（1）圆柱桶竖直放置时，水平面为圆面；水平放置时，水平面为矩形面；倾斜放置时，水平面为椭圆面或者部分椭圆面。可能呈现的所有类型的几何图形，如图31所示。
（2）圆柱桶竖直放置时，水平面相当于平行于底面的截面，因此水平面是圆面。
圆柱桶水平放置时，水平面与圆柱侧面的两条交线是圆柱的母线，它们平行且相等，且垂直于水平面与圆柱底面的两条交线，所以水平面是矩形面。
圆柱桶倾斜放置时，水平面相当于用平面斜截圆柱时所得到的截面。如图32所示，上下两球与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以BC，DE为直径且平行于圆柱底面的大圆O1和O2，两球面与斜截面分别相切于点F和F′，斜截面与BD，CE分别交于点A和A′，P为所得截面边缘上一点（即斜截面与圆柱侧面交线上一点）。设过点P的圆柱的母线与圆O1和O2分别交于点M和N，则PM和PN分别是两球面的一条切线。
由于PM和PF是同一个球面的切线，故PM=PF，同理PN=PF'，于是有PF PF'=PM PN=MN为定值，即点P到F和F'距离之和为定值，所以这时的截面是椭圆面。
这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例31
下面再提供一个评分标准
（点击大图，可大图阅读）
案例3：估算地球周长
【目的】说明直观想象素养水平的表现和水平，体会评价“在现实情境中，建立实物的几何图形，能够根据图形想象实物”的满意原则和加分原则。
【情境】古希腊地理学家埃拉托色尼（Eratosthenes，前275—前193）用下面的方法估算地球的周长（即赤道周长）。他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城，立杆可测得日影角大约为（如图26），埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的，并且因为太阳距离地球很远（现代科学观察得知，太阳光到达地球表面需要8.3 s，光速300000 km/s），太阳光平行照射在地球上。根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，他又派人测得两地距离大约5000希腊里，约合800 km；因为大约为的50倍，于是他估算地球周长约为（km），这与地球实际周长40076km相差无几.
（1）试画出平面示意图；
（2）试由埃拉托色尼的估算结果，给出你的推理过程。
图26 估算地球周长示意图
【分析】如果学生能够画出基本合理的草图，可以认为达到直观想象素养水平一的要求；
能够画出清晰合理的示意图，可以认为达到直观想象素养水平二的要求，本题也考查逻辑推理等素养。
例如，下面的分析过程。
（1）如图26，记塞伊尼为点A，亚历山大城为点B。在两个点处太阳光平行，因为内错角相等得到弧AB对应的地心角为7度，弧AB的长度为800km。
（2）用弧AB的长乘360/7可以近似得到地球周长。
这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例29
案例4：影子问题
【目的】说明直观想象素养的表现和水平，体会满意原则和加分原则。
【情境】如图27，广场上有一盏路灯挂在高10 m的电线杆上，记电线杆的底部为A。把路灯看作一个点光源，身高1.5 m的女孩站在离点A 5 m的点B处。回答下面的问题：
（1）若女孩以5 m为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积；
（2）若女孩向点A前行4 m到达点D，然后从点D出发，沿着以BD为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状。
【分析】回顾课程标准中相关内容的要求：从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形。
如果学生能够在问题（1）中回答出人影扫过的图形是环形，或者在问题（2）的解答中提到棱锥，可以认为达到直观想象素养水平二的要求。
如果学生能够清晰准确地回答两个问题，可以认为达到直观想象素养水平三的要求。
例如，下面的回答。
（1）如图28所示，S为路灯位置，C为女孩头顶部，女孩的影子为线段BP。女孩绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是一个环形。
（2）如图29，女孩头顶运动的轨迹是以CE为对角线的正方形（CE与BD平行且相等），且该正方形平行于地面，则在点光源S的投射下，投影应与原图形相似，因此女孩头顶影子的轨迹也是一个正方形。
【拓展】如果这个女孩绕一个边长为2 m的正六边形走一圈，那么人影扫过的图形是什么？人影扫过的面积是多少？
这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例30
案例5：跑道问题
【目的】说明数学直观想象素养的表现和水平，体会评价“能够在熟悉的情境中，建立实物的几何图形，能够建立简单图形与实物之间的联系，体会图形与图形、图形与数量的关系”的满意原则、加分原则。
【情境】400 m标准跑道的内圈如图16所示，其中左右两边均是半径为36m的半圆弧。（注：400 m标准跑道最内圈约为400 m）
（1）求每条直道的长度（圆周率取3.14，结果精确到1 m）；
（2）建立平面直角坐标系xOy，写出跑道上半部分对应的函数解析式。
图16 标准跑道内圈示意图
【分析】回顾课程标准的要求：“在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。”“能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。”
如果能够完成（1）的计算，可以认为达到直观想象素养水平一的要求，
能够基本得到（2）所要求的表达式，可以认为达到直观想象素养水平二的要求。
这个问题也可以考查数学运算等素养。本题解答如下。
（1）因为跑道两端的弧形合起来是一个完整的圆周，所以弧形部分跑道的长度为2×3.14×36=226.08（m)，两条直道长度为400-226.08=173.92(m).所以每条直道长约为173.92÷2≈87（m）。
建立坐标系示意图
【拓展】可以考虚以图形的中心为原点建立平面直角坐标系。
这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例22
文本来源：《普通高中数学课程标准》（2017年版）