第18招:偷天换日-解三角形中的范围问题
第18招:偷天换日 - 解三角形中的范围问题
解三角形是高考的热点题型,解三角形中求最值或者取值范围的问题,是解三角形中相对较难的一类考题,从高考题型以及各类模拟题中分析总结来看,基本上分为两种类型:第一类是利用函数思想(如转化为关于某个角的函数),运用三角函数、二次函数等函数有关知识,利用函数思想求最值或取值范围的问题;第二类是运用正弦定理、余弦定理转化为边之间的关系利用不等式性质、基本不等式等,结合余弦定理求最值或取值范围的问题.在解题过程中,要注意正弦定理,余弦定理以及三角恒等变换公式的选择和运用,注意题目中隐含的各种限制条件(如三角形内角和等于180°,两边之和大于第三边等),选择合理的方法解题.
(2019·全国III卷理·18)
的内角
的对边分别为
,已知
.
(1)求
;
(2)若
为锐角三角形,且
,求
面积的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】(1)意根据题
,由正弦定理得
,因为
,得
,消去
得
.
由
,可得
,故
,
因为
,所以
,所以
.
(2)由题设及(1)知
的面积
,
由(1)
,
得到
,
由正弦定理得
,
由于
是锐角三角形,故
,
,结合
,得
,所以
,从而
.
因此
面积的取值范围是
.
【点评】本题考查了三角函数的基础知识,正弦定理、余弦定理的运用,最后考查
是锐角三角形这个条件的利用.
(1)利用正弦定理将已知式子统一成角的关系,得到关于角
的三角方程,再利用诱导公式、二倍角公式变形化简,解出
的正弦值,最后根据
均为三角形内角解得
.
(2)结合(1)及已知,把三角形面积表示成
的函数,再利用正弦定理将
表示为关于
的函数,由锐角三角形及角
的大小,确定角
的范围,进而得解.此题也可以用余弦定理利用边的关系求解,过程如下:
(2)由题设及(1)知
的面积
,
由余弦定理
和
,
,得
.
由
是锐角三角形,得
于是
即
得
,从而
.
因此
面积的取值范围是
.
(2020·浙江卷·18)在锐角
中,角
的对边分别为
,且
.
(1)求角
的大小;
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
【解析】(1)由
,结合正弦定理可得:
.
因为
,得
,消去
得
.
又△ABC为锐角三角形,故
.
(2)由
得
,
.
由
可得:
,于是
,
则
,所以
.
即
的取值范围是
.
【点评】(1)首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小;
(2)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式,然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得
的取值范围.
解三角形的基本策略:一是边角互化,利用正弦定理、余弦定理实现“边化角”或“角化边”.由正弦定理,设
,
边化角有:
;
角化边有:
;
由余弦定理有:
.
二是善于利用三角形内角和定理消元(转化).
三是注意观察已知条件(或条件的变式)和某个公式(或公式的部分)是否相似?若有,则可考虑用这个公式,由此打开解题的突破口.
1.(2020青岛模拟)
的内角
的对边分别为
,已知
.
(1)求
;
(2)若
为锐角三角形,且
,求
面积的最大值.
2.(原创)
的内角
的对边分别为
,已知
.
(1)求
;
(2)若锐角三角形
的外接圆半径
,求
周长的取值范围.