初等可视化证明

随着自媒体的普及，数学证明不仅仅只是抽象的文字，也可以是直观的图片甚至动画——这就是可视化证明，也称为无字证明。

用更经济的（节省脑力的）方式理解问题，是人类的本能，这或许就是可视化证明诞生的原动力。

虽然，与传统的数学证明相比较，可视化证明缺少严谨性，但后者带给人们那直观的、一目了然的、直达人心，触动人的知觉的震撼，是前者很难做到的。

诚然，可视化证明不能取代传统的数学证明，但是，却可以加强 大家对于 数学定理 的理解，也有助于数学思维的扩展，让我们得以从另外的角度思考问题。

另一方面，小石头在头条的作品，总是被大家以看不懂来评价，于是就在反思，是否可以对有些证明，进行可视化呢？这应该是一个方向！当然这也比较困难，但万里之行始于足，就让小石头，先从搜集一些，经典的初等可视化证明，开始吧！

——§ 自然数和公式 § ——

前n个自然数之和

注：这称为“高斯算法”，据说是高斯小学时就想到的，但据数学史学家考证，并无此事。

——§ 奇数和公式 § ——

前n个奇数之和

——§ 自然数平方和公式 § ——

前n个自然数平方之和

——§ 自然数立方和公式 § ——

前n个自然数立方之和

——§ 完全平方公式 § ——

完全平方公式

——§ 平方差公式 § ——

平方差公式

——§ 立方差公式 § ——

立方差公式

注：除了这张图片外，其它黑底图片或动画，均由小石头，这两天写的一个简易JavaScript引擎——AniMath生成。在以后作可视化证明的过程中会慢慢完善AniMath的。

——§ 毕达哥拉斯定理 §——

对于任意直角三角形，设， 是其直角边， 是其的斜边，则有，

毕达哥拉斯定理

注：毕达哥拉斯定理（勾股定理）的证明方法非常多，有时间，小石头打算也给大家写个总结。

——§ 和角公式 §——

和角公式

注：也可以利用复数运算，直接得到，即，

——§ 那些和等于1的数列 §——

一尺之捶，日取其半，万世不竭！

其实，日取3/4也行！

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好了，就先搜集这么多吧！希望，以上这里的分享，对大家的数学学习有所帮助。

这些只能算是做了一些，编辑、作图、排版上的工作，就不声明原创了。接下来，小石头就需要静下心来慢慢研究一些真正证明上的可视化原创了。

感谢各位，耐心阅读到这里，你们是最棒的，为你们点赞！