【八年级】一次函数最值问题例析

“一次函数最值问题”既是一次函数的具体应用,更是中考的热点.何时获得最大利润?最大利润是多少?这是一个现实生活中的的最值问题.在解题过程中,需将实际问题转化为数学问题,构建目标函数,通过一次函数的增减性可使问题得以解决.现就中考试题中运用一次函数知识取得最大(小)值问题,精选几例如下,供同学们鉴赏：

例1、某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元.  （1）求y关于x的函数关系式？

（2）如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。（注：利润＝售价－成本）

分析: （1）购进A、B两种品牌的饮料共500箱，购进A种饮料x箱，则购进B种饮料(500-x)箱;根据A、B两种品牌饮料的进价和售价及利润＝售价－成本,易得总利润y(元) 关于x(箱)之间的函数关系式.

（2）根据不等式知识求得x的取值范围,再根据一次函次性质求得总利润y(元)的最大值.

解: （1）y＝（63－55）x＋（40－35）（500－x）

＝3x＋2500.即y＝3x＋2500（0≤x≤500），

（2）由题意，得55x＋35（500－x）≤20000，

解这个不等式，得x≤125，即x可取得的最大值为125.

对于函数y＝3x＋2500, 当x取得最大值时,函数y也取得最大值.

因此当x＝125时,y_最大值＝3×125＋2500＝2875(元),

所以购进A、B两种饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润,为2875元.

评注:①销售利润=售价－进价;②解不等式求得x的取值范围;③函数y＝3x＋2500,是增函数,即y随x的增大而增大,所以当x取得最大值时,函数y也取得最大值.

例3、某厂工人小王某月工作的部分信息如下：

信息一：工作时间：每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；

信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：

信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？

（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？

分析: （1）通过解方程组可以求得生产甲、乙两种产品1件各需多少时间.

（2）建立一次函数关系,根据一次函数的增减性,可使问题获解.

即小王该月最多能得到1644元,此时生产甲、乙两种产品分别为60件和555件.

评注:这是一道信息给予题,关键是理解题意,从中获取正确的信息.