中考数学压轴题分析：等边三角形存在性问题

【中考真题】

（2020·宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点在二次函数的图象上，过点作轴的平行线交二次函数的图象于、两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点，使得以点为圆心的圆过点和点，且与直线相切．若存在，求出点的坐标，并求的半径；若不存在，说明理由．

【分析】

题（1）根据抛物线的特征，可以直接设y=ax²，然后代入点（2，1）即可。

题（2）是等边三角形的存在性问题，因为两个点M和N已经确定了，那么第3个点P也必然是确定的，一定在MN的垂直平分线上，也就是y轴上面，根据高和底的比例关系，可以快速得到点P的坐标为（0,1±2√3）两种情况。

题（3）由于圆E经过点F和N，那么圆心必然在FN的垂直平分线上，又在抛物线上，那么代入x=1，即可得到纵坐标，然后再证明即可。

其实，可以发现抛物线上任意一点到y=-1的距离与到F的距离是相等，也就是说，点F是抛物线的焦点，而y=-1是准线。
【答案】解：（1）二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：，将代入上式并解得：，
故二次函数表达式为：；
（2）将代入并解得：，故点、的坐标分别为、，
则，
是等边三角形，
点在轴上且，
；
点，
点的坐标为或；
（3）假设二次函数的图象上存在一点满足条件，
设点是的中点，则点，
故点在的中垂线上．
点是的中垂线与图象的交点，
，则点，
，
同理，
点到直线的距离为，
故存在点，使得以点为圆心半径为的圆过点，且与直线相切．