初中数学竞赛题

分析：

这道题条件看着比较简单，但是却有一定的难度， 关键在于如何正确运用题中的条件找到突破口；

已知的条件是E为中点，AB和AE的关系，以及BD的长度，还有圆的半径已知，根据半径和BD的长度可以得到弦心距，但是貌似无卵用，毕竟这个点A到底在哪呢，如果连接OA是否垂直BD呢，都是未知，所以剩下的条件AE=EC和AB=√2AE该如何利用呢？

中点我们能想到的无非就是中位线、三线合一，中位线这里是不可能了，三线合一倒是能连接OE得到，但是仍然得不到其他线段长度，所以这个中点肯定不是这么用的。

再来看看AB=√2AE，它俩倒是在一个三角形中，与其相似的△CDE也可以得到CD=√2DE，但是仍旧无卵用，所以方向还不对；

再回过头来思考条件，AE=EC得到的是AE和AC之间是2倍关系，而AB和AE之间却是√2倍关系，这二者有什么联系吗？

2=（√2）²

如果将AB=√2AE平方，就出现2倍了，所以AB²=2AE²

别忘了，2AE可以替换为AC，所以AB²=AE·AC，

看着怎么那么像公共角三角形相似呢，

所以可得△AEB∽△ABC，

如此就有∠AEB=∠ACB=∠ADB，BC=√2BE

所以AB=AD，这样再连接OA不就能用垂径定理了吗？

根据计算，可得OF=AF=1，AB=2，则AE=√2，AC=2√2，

那么要计算四边形ABCD的面积，肯定要拆分，刚好点E是AC中点，可知A和C到BD的距离是相等的，所以我们只需要知道△ABD和△CBD以BD为底时，它们的高是多少即可，根据图形可知高为AF=2

所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=2√3