【八上数学】SAS、 ASA 、AAS 型全等典型易错分析 / 四六文摘

浓情九月，恩师难忘

Teachers' Day

开学已经一周，相信大家已经调整好自己的状态，迎接新学年的学习了．本讲，我们以三种类型的全等的典型易错题为例，帮助同学们更好掌握相关类题．

（一）概念辨析

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

（简写成“边角边”或“SAS”）

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．

（简写成“角边角”或“ASA”）

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．

（简写成“角角边”或“AAS”）

(二)实战分析

一、条件判断

例1：

下列条件中，能使△ABC≌△A′BC′的是( )

A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′

B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′

C．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′

D．AC＝A′C′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′

分析：

本题中，全等符号已经出现，则说明两个全等三角形的字母已经分别对应．

再观察每个条件，都是两边一角，根据SAS可知，需满足两边及其夹角分别相等．

但本题无图，我们可以这么来思考，三角形中，角的顶点应该是相邻边的公共点，如AB，BC的公共点是B，则∠B是AB，BC的夹角．或者更直接的说，两条线段中，字母重复出现，即出现2次的，就是夹角顶点．

解答：

A选项错误，AB，AC的夹角是∠A．

B选项错误，AB，BC的夹角是∠B．

C选项正确．

D选项错误，AC，BC的夹角是∠C．

例2：

下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D

B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF

C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF

D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F

分析：

本题与第1题非常类似，显然A选项给出的是两边一角，这个角必须是夹角．B、C选项给出的是两角一边，边可以是夹边，也可以是其中一组等角的对边，D选项三个角，显然不符合．

解答：

A选项错误，AB，BC的夹角是∠B．

DE，EF的夹角是∠E．

B选项错误，∠A，∠C的夹边是AC．

∠D，∠F的夹边是DF．

C选项正确．

D选项错误．

例3：

不能确定△ABC与△DEF全等的是（）

A．AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E

B．AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E

C．∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE

D．BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D

分析：

本题没有全等符号，因此不一定是△ABC≌△DEF，我们应该分别画图．

A选项属于两角一边，

显然如图1，△ABC≌△DEF(AAS) ．

B选项也属于两角一边，

显然如图2，△ABC≌△EFD(ASA) ．

C选项很有迷惑性，同样也属于两角一边，但AC是∠B的对边，DE是∠F的对边，而∠B≠∠F，不满足“一组等角的对边相等”反例如图3．

A选项属于两边一角，

显然如图4，△ABC≌△FED(SAS) ．

解答：

A选项错误，AB，BC的夹角是∠B．DE，EF的夹角是∠E．

B选项错误，∠A，∠C的夹边是AC．∠D，∠F的夹边是DF．

C选项正确．

D选项错误．

二、添加条件

例1：

如图，点D在AB上，点E在AC上，且AB＝AC，则有列条件：①∠B＝∠C；②AD＝AE；

③BE＝CD，其中能判定△ABE≌△ACD的有_______．

分析：

一些给出图，需要添加条件的问题，一直是许多同学的难点．为此，特意教大家两步突破这类问题！(1)标上条件(2)分离图形．对于相等的线段，相等的角，平行的线段(得相等的角)，我们可以用不同的符号来区别表示，然后选择其中一个三角形，将其从原来的复杂图形中分离出来，不仅可以方便我们观察其中已知的条件，也不容易出错．

解答：

如图1，本题中隐含了∠A是公共角，把图形分离后，如图2，选择△ABE，即知道了已经有一边一角对应相等的条件．再添一对对应角相等，没问题．

添边相等，一定要注意是夹边．

因此①，②均正确．

而③是不可以的，BE是△ABE中，∠A的对边，因此属于边边角(SSA)，不能证全等．

反例如下，如图3，以B为圆心，BE长为半径画弧，弧与AC的另一个交点E'，则△ABE'也符合条件，但不与△ADC全等．如图4，图5．