圆锥曲线|没有二级结论,你凭什么提高解题速度

离心率问题,是圆锥曲线客观题最常出现的形式了。

我们都知道,求离心率的关键,在于寻找一个齐次式的等量关系。

只是如何寻找这个等式,因为并没有一个固定的套路,而为众多学生所困惑。

今天的推送,主要想就焦点三角形的顶角,做一些常规性的思考。

仅作抛砖以引玉。

2021届合肥一模第11题

01

二级结论:焦点三角形面积

其实,如果条件中出现焦点三角形,而且还提到了焦点三角形的顶角,我一般是肯定会优先考虑焦点三角形的面积公式的。

而且,你也看出来了,因为这个公式,计算过程简洁而明了。

那就一定要记住,焦点三角形的面积公式哦!

记焦点三角形的顶角为θ,则

椭圆焦点三角形面积:

双曲线焦点三角形面积:

02

第一定义+三角形面积

当然,如果已知了三角形的一角,除了考虑三角形的面积之外,当然也可以根据点在曲线上,结合第一定义,找到角两边的关系,再用余弦定理,就OK啦。

所以,对于两数之和、两数之差、两数之积、两数之商,一定要关注他们之间的内在联系。

03

第二定义+余弦定理

如果考虑用余弦定理,两条焦半径直接用第二定义的结论——焦半径公式当然就最好了。

只是计算过程可能稍复杂些。

但还是完全可以接受的。

那么,你还能很准确地记住椭圆和双曲线的焦半径公式么?

还有它们之间的区别?

04

点在曲线上+到角公式

两直线所成的角,如果从解析几何的角度,当然是可以考虑到角公式的。

只是,现在应该很少有人能想到到角或夹角公式了。

而且,真的计算量还是太大了。

因为这个高次方程我实在是没心思去分解因式,所以我就直接验证了,结果还是可以的,倒是真的没有问题。

05

参数方程+和角公式

都知道双曲线的参数方程,教材里是不要求掌握的。

甚至于了解它,都没必要。

那我为什么会用到参数方程呢?

还是因为“八省联考”的那个圆锥曲线,其实用双曲线的参数方程就比较简单。

而且,用数学画板做圆锥曲线时,我也会经常用到双曲线的参数方程。

所以就想了想这个思路。

但确实,除了新奇点,并没有体现出它在椭圆和双曲线中的优势。

但是说真的,关于椭圆和圆的参数方程真的是要掌握的。

其实,结合上次“八省联考”中的选择题,我还是认为,对于圆锥曲线来说,真的是要了解并记住一些“二级结论”的。

就像这个题,很显然的,方法一就会好很多。

当然,关键时刻,从题型特征着手分析,也不失为一种很好的解题方式。

END

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