有一个会泰勒级数的八岁表妹是怎样一种体验?

上一篇文章超模君给大家介绍了欧拉公式,很多粉丝问我:八岁表妹明明还是小学生,是怎么知道泰勒级数的意思的?

答案其实很简单,这当然和我们全家优秀的基因...不!优良的家教有关!

那天,我正在房间休息,表妹一看我没在忙,立刻蹦蹦跳跳地跑过来,手里还拿着一张卡牌,缠着我给她讲讲这个数学家的故事。

我拿起卡牌一看,这不是泰勒么?

点击图片,获取表妹同款卡牌

接着,我就给表妹讲了一下泰勒生平的成就,不料表妹听完之后,皱起了眉头:听你这么说,这人也没有多厉害啊,没意思!

超模君听完,内心再次炸裂,作为我超模君的表妹,居然视泰勒级数为无物,不要你这个表妹也罢!

随后在表妹的苦苦哀求下,我还是认回了她,并拉着她,手把手开始讲起了泰勒级数。

有一天,泰勒正在专心致志地做着数学题,结果不知不觉就到晚上了,肚子饿得咕咕叫,却没做完几道题。

他发现,自己每次解一些复杂的函数,都不能又快又准地得到函数值,这让他相当地纳闷。

突然,他灵机一动,假如把一切函数表达式都转化为多项式得到近似值,这样处理问题不就简单了吗?

于是,他先随手写下一个幂级数

接着,他假设x=a,再分别求出C0、C1、C2、C3的值:

当x=a时,可以得到C0为:

接着再求C1,先进行一阶导数,可以得到

于是,就可以推出C1为:

以此类推,求C2时再进行二阶导数,可以得到

最后推出C2为:

就这么一项一项地算下来之后,泰勒再将它一归纳,Amazing!

泰勒得到这个公式后,没有高兴太久,而是立刻把它放到三角函数中进行验证。
当f(x) = cosx时,已知cos的导数为-sin,sin的导数为cos,因此可以得到它们的各阶导数为:
再稍微一整理,就得到了和原来类似的式子:
这时,再令a=0,神奇的事情发生了!虽然还是一项一项,但式子已经变得极其简约!
听到这里,表妹不满意地撇撇嘴:“表哥你说了这么久,我还是没有感觉到这个公式厉害在哪嘛!”
我:“还没讲完呢!接下来就是见证奇迹的时刻了!
我们将cos(x)的值用红线在坐标轴表示出来,接着再用蓝线表示用泰勒级数算出的近似值,表妹你看看,是不是级数越大,它们两个就越相似?”
“哇!表哥!真的耶!”
“这还没完呢,我们可以再拿e的平方来测试一下,e约等于2.71828,在计算器算一下,可以算出e的平方等于7.389056....
接着,我们再用泰勒级数算一遍,e的泰勒级数是这样表示的:
令x=2,运算至不同级数,分别可以得到下面的近似值,也就是说,越往下计算,得到的结果就会越接近,这就是泰勒级数的威力!
8岁表妹:哇!这下我明白泰勒他有多厉害了。那泰勒级数这么方便,大家一定经常用它来计算吧?
我:没错!泰勒级数会经常在数学物理类的学习中与我们相遇,因为它在数学中是一种极其强大的函数近似工具。
像咱们平时用的电脑,经常要用到开方和幂次计算,程序员教“它”泰勒级数的方法,电脑就能计算得更快,节省更多的时间,类似实用的例子还有很多很多...
化繁为简,化难为易,这就是泰勒级数的美妙之处。
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