在解决一次函数背景下的菱形的存在性问题，我们需要先厘清菱形的判定：在目前的问题中，涉及的是：两个定点+一个半动点+一个全动点问题或一个定点，三个半动点的问题。
解题思路：
思路1：先平四，再菱形
先根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式确定一组方程，再利用邻边相等，即利用距离公式列出一个方程，联立求解。
思路2：先菱形，再平四
在构成菱形的4个点中取2个定点和1个半动点，构成等腰三角形，利用距离公式求出半动点的坐标。再根据平行四边形的存在性，利用中点坐标公式求出另一个全动点的坐标。
分析：根据题意，先标出四个点的坐标，A(1,1)，B(5,4)，C(m,0)，D(x,y)，再依据思路1和思路2分析解答。
以AB为对角线为例，先计算AB、CD中点，再利用AC=BC，可以得到C、D坐标。
以此类推，得出另外两种情况，即以AC、AD为对角线，解关于m,x,y的三元一次方程组，进而得到点的坐标。
以思路2为例：先等腰，再平四
先求点C，点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰三角形的存在性问题确定点C，在确定点D。
以AB=AC为例，利用距离公式求出点C坐标，然后再利用平行四边形的存在性，计算BC、AD的中点，求出点D坐标。
以此类推，得到另外两种情况，即AC=BC，AB=BC。先求出m的值，再解关于x,y的二元一次方程组。
但是针对具体的问题要具体分析，画出图形，看能否简便运算。
分析：两个定点+一个半动点+一个全动点。根据题意，可知A(2,0)，B(0,2√3)，P(0,y)，Q(m,n)。由于点P在y轴上，则根据“先等腰，再平四”的法则，根据图形特征求出点Q坐标。
①AB=AP，以A为圆心，AB为半径画弧，得到P，再以AB、AP为邻边画出菱形ABPQ。由于菱形对角线互相平分，得到Q(-2,0).
②AB=BP，以B为圆心，AB为半径画弧，得到两个P点，再以AB、BP为邻边画出菱形ABPQ。由于AQ//y轴，并且AQ=AB=4，故Q(2,4)或Q(2,-4)。
③AP=BP，此时设点Q(2,y)，利用BQ=AQ，求出点Q(2,4√3/3）除了按照相等邻边分类外，本题也可以以AB为边，或AB为对角线分类讨论。①、②两种情况是按照AB为边进行分类，③是按照AB为对角线进行分类。由此可见，对于具体问题，可以先画图确定图形位置，再根据图形特点确立点的坐标，根据图形，具体问题具体分析。若本题直接使用距离公式或中点坐标设元来做就显得复杂了。
分析：两个定点+一个半动点+一个全动点。根据题意，可知A(6,0)，B(0,12)，C(3,6)，则直线OC的解析式为y=2x。则D(2,4)，则直线AD的解析式为y=-x+6。则菱形四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(6,0)、P(x,-x+6)、Q(a,b)。以定线段OA为边或对角线进行分类讨论。
分析：一个定点+三个半动点。根据题意，菱形的四个顶点坐标分别表示为E(0,6)、M(0,a)、N(2,b)、P(x,-2x+6)。由于点M在E的上方，限定了ME的位置，同时过点N的直线已与ME平行，因此以ME为边只有在第一象限的情况，此时P与C重合；以ME为对角线也只有一种情况。
分析：一个定点+三个半动点。根据题意，画出图形，通过设出点M和点N的坐标，根据“菱形的邻边相等”以及“菱形的对角线互相平分”得到M的坐标，进而得到点C的坐标。
对于平面直角坐标系中菱形的存在性问题，①先设点，②按照边或对角线分类，③画出图形，④依据一组邻边相等，利用距离公式求出坐标。
