基本概念和基本思想

撰文 | yubr

统计物理的研究对象是大量微观粒子（mol级别，也就是10^23数量级）组成的宏观系统。统计物理的基本目标是从系统的微观性质出发，推导出系统的宏观性质。为此，我们先澄清几个概念。

我们假设一堆的气体分子（10^23数量级）组成了一个系统。这个系统可以有自己的体积，压强，温度，内能等参数，这些参数称为系统的宏观量。另一方面，这10^23量级的分子每一个都可以有自己的位置矢量、速度矢量、动量、能量等参数，这些参数称为系统的微观量。

系统的微观量每时每刻都在不断变化，而系统的宏观量可以不随时间变化。我们把宏观量不随时间变化的系统称为处于平衡态的系统。

为了描述这个系统的状态，我们有两种方法。

第一种方法是用系统的一组宏观量来描述系统的状态：

上式表明，当系统的压强、体积、温度、内能等宏观量分别取一组特定值的时候，我们得到了系统的一个状态，这种用一组宏观量来标记的状态称为系统的宏观态。

第二种方法是用系统中每个粒子的微观量来描述系统的状态：

上式表明，当每一个粒子的速度和动量分别取一组特定值的时候，我们得到了系统的一个状态，这种用每一个粒子的微观量来标记的状态称为系统的微观态 [1]。

从原则上讲，我们可以对每一个粒子做动力学分析，（对经典系统，每一个粒子都服从牛顿运动定律，对量子体系，每一个粒子都服从薛定谔方程，它们都是决定论性的动力学方程，只要初始条件和边界条件给定，系统以后的演化就可以唯一确定），联立10^23个微分方程，然后精确地确定任意时刻每个粒子的运动状态，这样我们也就确定了任意时刻系统的微观态。

当然，很遗憾，这种方法完全不具有可操作性，根本原因还是因为宏观系统包含的粒子数实在太多了，宇宙中没有（现在没有，以后也很可能不会有）任何一台超级计算机能在有限时间内联立求解10^23个方程 [2]，所以我们根本不可能通过求解出每一个粒子的微观量然后外推出系统的微观态。

暴力求解的方法不切实际，那么是不是就意味着我们就没法描述一个宏观系统的状态了呢？当然不是！这就是统计物理大显身手的时候了，我们必须注意到以下重要的事实：（1）实验上可以测量的只有系统的宏观态（系统的微观态不可测量），而确定系统的宏观态只需要几个有限的宏观量就行了；（2）一个宏观态可以对应大量不同的微观态，而且不同的宏观态对应的微观态的数目并不相同 [3]。

接下来，我们来引入统计物理中最重要的假设（也是唯一需要的假设）：等概率假设

等概率假设：对一个处于平衡态的孤立系统，系统的每个微观态都有相同的可能性达到。

这是一个非常朴素和自然的假定，根据这个假定，再加上上面的分析，我们可以很自然地得到下面的推论：系统最有可能取到的宏观态是那个对应了最多微观态数的宏观态。

既然我们可以测量的只有系统的宏观态，而确定一个宏观态只需要几个有限的宏观量，那么为了描述一个宏观系统，我们只需要得到所有的宏观量的值就行了。对此，热力学采用了直接用实验测量来确定宏观量的方法，这是一种自下而上(bottom-up)的唯象方法；而统计物理则采用了从微观态出发，然后理论推导出宏观量的方法，这是一种自上而下(top-down)的理论方法。我们这里只讨论后者。

必须要注意的一点是，（可测量的）宏观量其实是（不可测量的）微观量统计平均后的结果。例如我们考虑一个装满气体分子的宏观容器的压强，我们测量到的压强并不是某一时刻某个分子撞击器壁的力，而是一段时间内大量分子撞击器壁后的平均效果。更一般地，设A是一个任意的物理量，则有

2 经典统计

在统计物理中，我们常用的系综有三类：微正则系综，正则系综和巨正则系综，下面分别加以介绍 [5]。

首先，为了保证系统具有确定的温度，我们可以把系统和一个大热源耦合，大热源的热容假设为无穷大，以至于其温度在热量交换下不变，所以当系统和大热源达到平衡态后，系统将具有和大热源相同的确定的温度，但因为系统存在涨落，所以系统的能量（微观量）并不确定，但是系统的平均能量（也即系统的内能，是宏观量）是确定的。

3 量子统计

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