妙作辅助线,巧解复杂证明题!

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我们在做题的时候有时候会碰到,已知条件不多,而图形又极其复杂,这时候我们往往心理上就害怕了,认为这题太难了,我肯定做不出来。其实遇见这种题时候不要害怕,我们一步一步抽丝剥茧,用我们所学知识慢慢分析,构造辅助线,解题思路就出来了。

如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。求证:四边形A2B2C2D2是正方形。

这道题的难点是图形比较复杂,找等量关系比较难,这样一来,我们做辅助线构造辅助线就变得比较吃力,我们可以试着连接BC1和AB1分别找其中点F,E,连接C2F与A2E并延长相交于Q点,这样的话,根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2,EB2=FC2。

然后证明得到∠B2FC2=∠A2EB2,然后利用边角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等,根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2,再根据角的关系推出得到∠A2B2 C2=90°,从而得到A2B2与B2C2垂直且相等,同理可得其它边也垂直且相等,所以四边形A2B2C2D2是正方形。如果没看明白的话,下面我把具体过程写下来,大家根据解题过程再慢慢消化。

证明:如图,连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=A1B1=B1C1=FB2,EB2=AB=BC=FC2,

∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°,

∴∠GEB2=∠GFQ,

∴∠B2FC2=∠A2EB2,

可得△B2FC2≌△A2EB2,

所以A2B2=B2C2,

又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2,

从而可得∠A2B2 C2=90°,

同理可得其它边垂直且相等,

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

这道题题主要考查了正方形的性质与判定,三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,综合性较强,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键。

遇上这种图形复杂的综合性较强题目,我们不要慌,更不要怕,自己一定要稳下心来,根据已知条件和我们所学知识慢慢分析,一步一步抽丝剥茧慢慢题就出来了,好多题目就是稍加变换,让我们心理先怯场,之后乱了阵脚也就做不出来了。如果我们心态平和的去分析,一般都能够做出来的,加油吧!

来源:初中数学哥

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