2021波兰数学奥林匹克 决赛 中文翻译

第一天

1.对给定自然数, 设(其中) 表示从小到大的第个素数(例如, , ) 设 . 证明在集合中, 恰有 个数可以被奇素数.整除.

2.设为正整数. 对整数 , 存在实数 满足如下条件:1) 对任意, 均有  .2) 对满足 .的整数, , , , 均有求证:

3.内接于圆, 点为圆周上除外任意一点, 直线交于点, 直线 交于点, 直线交于点. 设中点的连线为,  中点的连线为,  中点的连线为, 点分别为 到的垂足. 设为   的圆心.
求证: 当点移动时, 点的轨迹是一个圆.

第二天

4.求证: 对任意正实数 以及正整数, 均有

5.凸六边形中, 且 . 已知直线交于点. 求证: 的外心与共线.

6.给定圆以及整数. 汉塞尔在上作若干条弦, 并满足如下条件: 每个弦的端点至少为个不同的弦的端点.
求证: 存在一条弦, 至少与 条弦在圆内或圆上相交.

注: 证明本题目的简化版, 即存在一条弦, 至少与 条弦在圆内或圆上相交, 可得两分.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。