张关泉：成果奇崛和瑰丽的数学家

     张关泉先生（1937-2012）

          《张关泉论文选集》序言

这本论文选集是张关泉先生从事计算数学研究近五十年来的工作总结。先生是计算数学界成绩卓著的专家学者。自年轻时与这门学科结缘，五十年来无论世道沧海桑田、际遇荣辱困病，他始终孜孜以求，乐之守之。“文章千古事，得失寸心知”。先生天分既高，用功且深，在学术上独具匠心。文集中遴选了他在不同时期的多个应用数学领域的前沿性工作，其份量不可谓不厚重矣。

张关泉先生于1937年7月3日出生于上海，父亲是一名高级技术工人，母亲是一位慈爱勤劳的家庭主妇。在他的童年和少年时代，整个中国经历着内乱与外患的动荡。先生依稀记得他在动荡中接受了小学教育，算术学得懵懵懂懂。为了让他顺利地升入中学，哥哥聘请了一位同学为他辅导功课。不知怎的，他感觉脑子豁然开朗，从此数学就再不与他为难了。

进入中学以后，先生在数学和物理的学习方面表现出超人的悟性。先生曾说：“很多数学、物理的定理、定律在我看来很容易理解，可是对别的同学却很难。他们来问我，我解释给他们，他们一听就懂了”。其中的一个例子是光学的折射定律。先生的解释是：考虑一辆车从土地开入沙地，以倾斜角度进入分界处，由于左右两个轮子在不同的介质中，速度不一样，车子必然要转一个角度再继续前行，所转的角度正好满足折射定律。复杂的问题在先生看来竟如此简单。

高中毕业时，中国已经经历了从国民党时期向共产党时期的政权更替。新政权伊始，百废待兴。1956年，由于数学、物理方面的出众成绩，先生被国家选送到前苏联留学。在基辅大学学习一年后，转入国立莫斯科大学数学力学系学习计算数学。莫斯科大学数学系有着悠久、深厚的数学传统，门派林立、高手如云，先生在这样的学术环境里学习如鱼得水。1961年6月，他以全优的成绩获颁特殊优等生数学学士学位证书，本文集中所选的第一篇论文“论数值求解热传导方程的最少结点问题”就是他在莫斯科大学的本科毕业论文，于1962年发表在前苏联的《计算数学与数学物理杂志》上。这是国际上较早的有关数理方程计算复杂性的研究成果。1965年11月至1967年6月，先生再次被国家选派到法国巴黎大学理学院的 Poincare研究所进修应用数学。在那个年代，整个中国处于对外的政治、经济、文化封闭状态，先生两次获选留学海外，可谓是时代的幸运者。

1961年大学毕业后，先生加入了由冯康先生组建的中国科学院计算技术研究所第三研究室(计算数学研究室)，担任实习研究员。这是中国计算数学的初创时期，风云际会，作为一代宗师，冯康先生延揽了当时国内计算数学方面的许多优秀人才开展计算数学的研究，取得了包括有限元方法在内的一系列重要成果。在这个科研团队中，先生主攻计算流体等的初边值问题计算方法，被公认为科研方面的佼佼者。他的早期研究解决了几个有重要应用价值的计算物理问题，具有原创性和先进性，突显了将计算方法与物理意义融会贯通的个人风格。这一时期具有代表性的研究成果包括：

1.激波计算：先生于1964年发表了能量守恒的自动偏心计算格式，这是国际上最早的迎风格式之一。先生所提出的格式实际上是一种线性 Godunov方法，对沿空间方向的一阶导数项采用中心差分。为了保证物理量沿特征方向的固有性质，他设计了一个附加二阶导数项，并且巧妙地构造了其系数矩阵，使得该格式具有按照激波的传播方向自动偏心的功能。类似的方法在空气动力学计算中起着重要作用。

2.不适定性问题：飞行器钝头体的头部流场计算中的不稳定性问题是60年代航天技术亟需解决的重要课题。先生认识到不稳定性是由于计算导致的非物理性质造成的，解决的关键在于控制计算中的舍入误差。由此入手，他系统地研究了不适定初值问题的性质，构造了有关的差分格式，并证明了不适定问题收敛性的等价定理，他于1965年发表了“三线定理”等论文，在理论上论证了这类问题计算的可能性。这一成果被国内同行广为引用。类似的定理在国外由 S. Agmon和L. Nirenberg于1967年发表。

正当学术研究的黄金时期，先生的学术生涯却出现了十多年的断档。本选集自1966年至1980年空缺，这从一个侧面反映了十年文革浩劫对文化界、学术界的深刻摧残。在文革中最左的一段时间里，先生随研究所的全体研究生到包头市的一家工厂下放锻炼。作为学术骨干，先生受到特殊照顾，免除重体力劳动，在操作台开轧钢机，在研究工作处于停顿的同时，家庭生活也困难重重：先生与师母程风珍女士分别工作在北京和福建，长期两地分居。几子张健则寄养在上海外婆家。先生曾回忆70年代中，他利用在上海出长差的机会，不厌其烦地陪张健在黄浦江上坐渡船。那时张健还很小，在船上欢呼雀跃，乐此不疲先生与幼子团聚固然欣慰，但是望着奔流不息的滔滔江水，内心深处却异常苦闷。先生讷于政治，在那样个错乱的年代只能选择沉默，逃避，但是作为一个事业上有追求的学者，时逢壮年面才华无处施展，其痛苦可想而知。

文革结束后，被风暴摧打过的中国学术界重新启程。为了留住先生安心从事科研，科学院的领导须费周折，在政策允许的范围内想出了一个办法：借调先生到中国驻法国大使馆任二等秘书，师母得以外交人员家属的身份将户口迁入北京，从面解决了十年来的两地分居问题!在拨乱反正的年代，这些迟到的人道关怀确实让知识分子倍感温暖。

在文革初期，先生曾着手研究航天工业中的难题——超音速绕流中的身部流场计算。由于飞行器的头部气流速度慢，呈亚音速，而身部气流变为超音速，流线从迎风面绕到背风面的交汇处出现了数值计算上的困难，即背部过热现象。先生从物理概念入手，认为气流沿同一流线的熵是固定的，而不同流线上的嫡则互不相同。传统的隐式方法对流线交汇处的气体作了状态平均，从而产生人为的增熵效应，最终导致背部过热的错误计算结果。先生提出的解决办法是区分不同的物理特征，分别用显式和隐式格式进行计算。以后的实践表明，这种创造性的解题思路是成功的。1977年底，先生到中国驻巴黎使馆赴任，他白天忙于处理各种外交事务，晚上身处斗室，不由得回想起文革初期未完成的工作。先生由特殊而进入一般将显、隐式计算问题抽象为常微分方程系统的两点边值问题。在没有任何参考文献的情况下，他夜以继日，在使馆中开始了一个人、一张纸、一支笔的独立研究工作，终于得到了求解两点边值问题的通用算法，他将科学工程计算中广泛应用的著名的“不变嵌入法”和“追赶法”纳入了统一的理论框架，非常一般化地解决了这个困难问题。成果于稍后发表在《计算数学》(1981)上。他的成果比著名学者H.B. Keller等人在1982年发表的结果更为普遍。由于先生对自己的科研工作如此痴迷，也由于冯康先生极力要求科学院实在不忍心按惯例让他在使馆完成四年的任期，于是提前于1980年初调他回到科学院专心从事计算数学的研究的工作，这就是学生中所传说的“张老师的外交官生涯”。

80年代初，冯康先生倡导计算数学与工业界相结合，并且建议关注反问题的研究及其在能源方面的应用。1983年，先生受命组建“地球物理勘探问题计算方法研究组”，转向从事“数学物理方程反问题”这全新领域的研究，通过与马在田先生等地球物理界专家的交流，先生学习了利用地震声波反射信号来进行地层成像的偏移算法，偏移计算是地震勘探数据处理中的重要计算环节，其目的是按照地震波的传播规律，对地面地震记录进行计算加工，得出地下构造的图像，以确定地下油气资源的储层。由J. Claerbout在70年代所开创的单程波偏移技术具有处理大变速介质成像的能力，但是当时的算法只能对小倾角地下构造进行偏移，这极大地影响了复杂地下构造的成像结果。先生敏锐地感到，单程波方程的理论基础是20世纪60年代所发展起来的拟微分算子理论，由此结合马在田先生所提出的分裂算法，他于1985年前后系统地构造了“大倾角差分偏移算法”。该研究成果后来发表在 Geophysics(1988)上。先生所提出的算法只需要在传统软件的基础上略作修改，就能够精确地处理任意小于90°倾角的构造，这在当时是非常先进的。该项成果曾获1986年国务院原电子振兴领导小组组织的全国计算机应用展览项目评比一等奖，1986年中国科学院科学技术进步一等奖，以及1987年国家科学技术进步二等奖。由此方法所编写的软件自80年代起就在石油天然气总公司地球物理勘探研究院等多家石油、地矿单位的处理系统中运行。

在短时间内，先生从勘探地球物理的外行变为内行，并且很快进入科研的最前沿，成为中国地震资料偏移技术研究方面的重要代表人物。先生在叠后偏移、叠前偏移、倾角校正、纵横波场分离、吸收边界条件等多项技术方面均有独到贡献，究其原因是先生对问题的物理背景有清楚的了解，并且做出了系统的理论奠基工作。先生从拟微分算子的理论出发，推导出了等价于经典声波方程的单程波耦合方程组，从数学上清晰地阐述了波的传播、反射、透射现象，也为单程波方程的应用提供了坚实的理论基础。同时，他对波场分解中起重要作用的平方根算子做了精细的构造，提出用微分、积分方程的解算子来进行表示和逼近，从而摆脱了计算拟微分算子所要求的苛刻条件。他总结这方面的研究心得，撰文“多维波动方程的上行波与下行波耦合方程组”，于1993年发表在《应用数学学报》上，这篇中文论文处于应用数学与地球物理的交界地带，长期被人忽略。但是，有价值的工作是经得住时间考验的。随着石油勘探的深化和计算机技术的发展，地震波资料处理逐渐从叠后时间偏移向叠前深度偏移过渡，跨入21世纪之际，单程波有限差分偏移算法重新变为叠前深度偏移的热门话题。在2001年的SEG(勘探地球物理协会)的年会上，来自BP石油公司的J.Etgen指出了单程波方程偏移方法或待解决的三个问题：1)90°倾角限制：2)真振幅问；3)反射角共成像点道集的计算与输出。五年之后，上述三个难题先后被突破。其中前两个问题的解决都是基于先生所创立的上、下行波分解理论(张宇等， Geophysics，2005； Geophysics 2007；EAGE，2006)随着这些研究成果在国际上多次获奖，先生创立的理论在国际地球物理界产生了广泛的影响。自2001年起，先生长期担任中国石油天然气总公司物探局和美国前 Veritas公司的科研顾问。他多次出访美国，均受邀到众多公司进行学术交流。在数学界，一项理论工作能得到工业界的如此关注是不多见的。先生的“应用数学家”称号是名符其实的。

先生从地震波勘探问题入手，对波动方程反问题进行了深刻、系统的理论研究。1988年发表于《中国科学》上的论文“一维波动方程的反演问题”以及其后的一系列研究工作完满地解决了一维波动方程反演的理论和算法。与国外专家的工作不同，他采用L₁模来刻划反演的难度，并构造了多种高效率的算法。此后又将这一工作推广到一维弹性波方程的多参数反演。在高维情况下，波动方程反问题表现出非线性和不适定性，理论和算法上遇到很大困难。通常的方法是将问题改写成最小二乘意义下的优化问题求解。但先生认为这种万能妙药式的方法完全不顾问题的内在物理特性，是在算“一笔糊涂账”。他提出用波场分裂思想来构造算法，物理意义明确，计算稳定，效率高，具有独创性，很值得进一步研究和深化。

先生在科学研究方面有大志向，对学科的基本问题和难度有深刻的认识，科研工作的推进总是有条不素、举重若轻。他曾经解释他为什么从波动方程入手进入反问题研究，原因在于正演和反演乃是一对矛盾。一般来说，正问题愈容易，则相应的反问题愈困难，对于传统的正演问题，椭圆型方程和抛物型方程有比较简单的数学性质，研究上比较容易，而以波动方程为代表的双曲型方程则无论在理论和计算上都比较困难。反问题的研究恰好相反。研究椭圆型、抛物型方程的反问题就如同和一个喜怒不行于色的人打交道，很难从他的外在表现判断其所思所想。而反演双曲型方程则类似给病人切脉诊病，虽然困难，却还有迹可寻。先生以波动方程反问题为立脚点，潜心耕作，收获颇丰。与此同时，他也尝试研究更为困难的其它类型的反问题，他与刘钧、李树勇、许作良等合作完成的关于反演介质渗透率的工作是一个椭圆型反冋题。先生采取了构造性算法，将问题解决得干净利落。之后，他又与李沛军合作，完成了一项在金融期货交易方面有应用价值的抛物型反问题的研究工作。反问题是新近兴起的一门数学分支，大多有着实际的工业生产背景，它根据事物的演化规律，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响。先生从事反问题的研究二十余年，在数学的天地里倒果求因，索引探秘，想来得妙趣处几近禅机。

纵观先生的科研工作，可以说他总是迎难而上，循其自然，独辟蹊径。先生从事计算数学研究四十余年，强调计算数学是一门应用科学，必须与工程实践相结合，不能躲进经典问题的象牙塔中供人观赏，先生身体力行，承担了多项有重大应用价值的科研项目，他虽然在生活中谦和恬淡，在事业上却极富进取心，从不躲避困难，而是勇于担当。“没有真问题就没有真学问”，正是这些实实在在的、关乎国计民生的实际问题，造就了先生过硬的学术能力!在解决问题方面，先生确有超出常人的才能。这不仅表现在他有扎实的理论基础和分析能力，还在于他有独到的科研智慧。先生每开展一项应用研究，绝不浮光掠影、装点虚饰。他经常强调，解决难题一定要摸准问题的“脾气”，顺着它的“性子”做，不然就会别别忸忸，漏洞百出。我的体会，这个“脾气”就是问题的物理性质，先生擅长从具体问题的物理背景入手，找到应用问题的困难所在，从而建立起数学与物理联系的刻机，构造巧妙而高效率的计算方法，所以先生的大多数研究工作都给人以明白、流畅的感觉。此外，道由技进，先生并不满足于具体问题的解决，他还将问题和解法一般化、抽象化，获得系统而深刻的理论和方法研究成果，反过来指导进一步的研究方向，如从头部流场的计算到不适定性问题的算法构造，从身部流场的计算到常微分方程组的两点边值问题的研究，从单程波偏移到合上、下行波场分解理论等，他所完成的理论工作都有着高度的概括性和明确的应用指导意义。

先生淡的明志，平易近人，在学术上实事求是，从来不虚张声势，更不会抬己抑人，在复杂的政治环境中，他不投机，不倚傍，不随人俯仰，在同行中，先生口碑极好，先生疏于交际却精于钻研，在学术讨论时思维非常敏捷，无论在任何场合，一且涉及到先生感兴趣的技术问题，他立刻谈锋转健，滔滔不绝，让人应接不暇，回顾师从于先生的十六年经历，我感到先生对日常事务的应对方式总是平平常常，实实在在他既没有张扬的个性，也没有流俗的习气。而另一方面，先生的工作却不乏奇崛和瑰丽之处，即使其中的碎金屑玉，也让就教者获益匪浅，先生愚耶智耶，或莫可知。

先生与师母散聚离合，伉俪情深，师母善良贤淑，总是一团和气。80年代中，先生长年过度劳累，积劳成疾，数次胃出血，几乎与死神擦肩而过，多亏从医的师母长达数年的悉心照顾，调理，才逐渐恢复健康，先生的学术生涯能延长至今，师母功莫大焉。先生自幼受家庭重陶，雅好美食，师母精于烹饪，做的一手道地的上海菜，夫妻相得益彰，和谐美满。

先生自1978年12月受聘为中科院计算中心副研究员后，1986年6月晋升为研究员，博士生导师近三十年来，先生先后培养硕士、博士研究生二十余人，先生视学生如子女，和蔼宽厚；传道授业，从无保守，受先生的科研风格影响，他的很多学生先后进入工业界，供职于各大石油公司、石油服务公司从事应用研究和工业软件开发，如刘超颖(东方地球物理公司)、汪道柳( CGGVeritas)、刘法启(Hess)，周洪波( Repsol)、张宇( CGGVeritas)、单国健( Chevron)、崔兴福(中石油勘探开发研究院)等，他们的工作在国内外地球物理勒探界具有一定的影响力，先生为地球物理界和应用数学界培养了众多人才，在国际上，”张家班”( Zhang^，s Group)颇得工业界好评。

2007年7月3日是张关泉先生70岁华诞。值此之际，他的弟子们希望为先生编辑一本论文集以志纪念，先生欣然应允，亲自审定文章篇目，除编选先生经年的得意之作外，他还特别关照尽可能将他与每一位学生的合作文章选编入集，先生珍视师生缘分若此。

作为先生的学生，我们深知这本文集的厚重，我们钦佩先生在求索道路上的执着与睿智，我们更努力将先生的学术思想发扬光大，先生到了收获季节，应该感到欣慰与快乐。孔子在70岁进入“从心所欲不矩”的境界，我们谨祝先生和师母健康安乐，万事如意!

张宇2007年5月于美国休斯顿

2008年张关泉获苏步青奖

   作者的话  （张关泉）

我于1961年毕业于莫斯科大学数学力学系，此后的40余年一直从事计算方法和科学工程计算研究。围绕空气动力学若干问题、不适定问题、数理方程反问题以及地震勘探中地下构造成像等方面研究计算方法，在国内外发表论文100多篇，其中有的是我独自撰写的，有的则是与同事、同行以及我的学生共同完成的。

在成长的道路上我幸运地得到了三位中外著名学者的指导和褒掖。在莫斯科大学，苏联科学院院士Nicolai Bachvalov指导我走上了计算方法的研究之路；在法国巴黎大学，法国科学院院士 Paul German引领我从事跨音速绕流问题计算；对我影响最大的则是我国著名数学家，中国计算数学学科主要奠基人冯康院士，他为我走上数学科研与实际应用相结合的道路指明了方向。

冯康先生是杰出的数学家，也是赤诚的爱国人士。他热切地期盼着祖国的强大和兴旺，主张科研工作要为我国的国防建设和国民经济发展服务。20世纪60年代初他指导我以钝头体绕流问题为背景研究不适定问题及其计算方法：80年代后他又关注我从事具有重大学术意义和应用前景的数理方程反问题和油气勘探中构造成像及反演的计算方法研究。我在这些研究领域中取得了一些成果，在实际应用中也取得了一些成效，得到了国内外学术界的广泛认同和赞许，并获得了国家级及中国科学院的奖励，这是与冯康先生的教导分不开的。趁这次论文集出版，我要向以上指导过我学习，研究的导师，尤其是冯康先生表示由衷的感激和深切的敬意。

近几年周毓麟院士等先辈老师、同事、朋友一再鼓励，学生们也一直提议，希望我把一些研究成果系统整理后出版。值此我70岁生日之际，匆匆筛选了部分既反映我研究工作的历程，又能体现我在科研上特点的论文汇编成册，作为我生日的纪念，也为今后总结我的科研成果做些准备。

我的科研工作得到国家自然科学基金项目和973重大项目等的资助，也得到我的工作单位(中国科学院计算中心，计算数学与科学工程计算研究所，数学与系统科学研究院)和合作单位(中国石油集团东方地球物理勘探有限公司物探技术研究中心，同济大学海洋和地球科学学院)的大力支持，后者长期资助合作研究、赞助了此论文集的出版，在科研中不少数学界的同行和勘探地球物理学界的专家给过我很多有益的建议和帮助，尤其是马在田院士，在地球物理勘探方面给了我不少指点，并一直合作至今。我的合作者，包括我的学生们在合作研究中做出了显著的贡献。在此我谨向上述单位，有关专家和合作者一并致以衷心的感谢。

张关泉

2007年5月于北京

张关泉，1937年7月3日出生于上海，1961 年6月毕业于莫斯科大学数学力学系计算数学专业，中科院计算技术研究所1962年研究生，曾在乌克兰国立基辅大学数学系，1965年赴法国巴黎大学理学院Poincare研究所进修应用数学，在中科院计算所、中科院计算中心等工作近四十年，1986年获国务院电子振兴领导小组全国计算机应用展览项目评比一等奖、中国科学院科学技术进步一等奖、1987年国家科学技术进步二等奖、2008年获苏步青应用数学奖。2012年2月14日逝世。