谈谈数学中那些硬核的定理
今天我想谈谈数学中那些硬核的定理。这其实是个审美的问题，比较开放，见仁见智，可以类比的是经常出现在各类科普中最美公式评选。不过硬核和最美这两个视角还是有很大不同的，这里我考虑的硬核标准有两个，第一个标准是定理本身难理解，难证明，学习门坎较高。另一个标准是定理影响力大，在数学、物理、通信、计算机等领域有极强的应用和推广价值。其实在浩如烟海的数学定理中去找至难至艰的定理比比皆是，没有最难，只有更难。但是光有难度不是我们讨论硬核定理的唯一标准，我们还要求定理有普适性，有推土机、轰炸机一样的强大力量，可以在数学一个甚至多个领域开疆辟土，生根发芽。
那么什么样的定理符合这样的审美呢？我想推荐的第一个定理就是傅立叶级数和变换，它是当之无愧的。傅立叶级数和变换本身的证明难度极高，根基扎实，枝叶繁茂，它可以看作分析学从初等进入高等的标志性定理。要说傅立叶级数和变换是分析学中类似推土机这样的重器一点都不过分。作为简单的应用，小试一下牛刀，它就可以直接求解过去初等方法很难求解的级数和，比如有名的求全体自然数平方的倒数和问题，这对于傅立叶级数来说，小菜一碟。再举一个有名的例子，历史上的“等周问题”：平面上所有周长一定的封闭曲线中，是否有一个围成的面积最大？如果有的话，是什么形状？这个问题直到19世纪德国数学家斯坦纳才给出一个基于几何直观的朴素证明，但是证明的严格性是不够的。后来德国数学家胡尔威茨给出了一个有名的分析证明，证明的关键技术就是基于傅立叶级数的，管中窥豹，可见傅立叶级数的威力强大。傅立叶级数和变换应用范围之广也令人叹为观止，通信领域的信号分析，微分方程，解析数论，调和分析，可以说上天入地无所不在。傅立叶级数和变换公式证明的难度同样是令人敬畏的，和它相比，那个最美公式之一的欧拉等式就简单多了。关于傅立叶级数和变换的专著论文浩如烟海，优秀的科普也十分丰富，本文就不赘述，有兴趣的读者可以找来看看。
如果说傅立叶级数和变换是一个超级武器的话，那么第二个我想推荐的硬核定理其美学价值之高令人惊叹不已，它经常出现在纯数学领域中艰深的中枢部位，这个定理就是著名的伽罗瓦基本定理。众所周知，“群”是1820年代伽罗瓦在研究代数方程的一个困难问题时发现的。群论在解决这个难题时的作用充分显示出它的强大，逐渐引起数学界的普遍关注。由此开创了数学的一个全新领域，其历史意义是无论如何估计也不会过分的。数学领域里的第一次宏大叙事(grand narrative)，我认为是从伽罗瓦理论开始的，而伽罗瓦理论的一个高峰定理就是伽罗瓦基本定理。之所以这么评价，一个重要的理由是伽罗瓦理论是从解决高次代数方程根式解的存在性问题出发，发展了一整套完整的理论，不仅仅彻底的解决了这一难题，还为未来的数学打开了一扇通往新世界的大门，它符合一次宏大叙事的各个关键要素。仔细分析伽罗瓦理论，其实还可以发现它和同时代的其他主流数学理论有着本质的不同。伽罗瓦理论几乎是一块裸矿区，它的初创时期，并不需要高深的预备知识或理论，几乎是平原上拔地而起的巍峨高峰。正是因为这个原生态特质，它才有可能属于一个汪洋恣肆的法兰西天才少年伽罗瓦。伽罗瓦理论作为人类思想史上最优秀的理论杰作之一，它的结构精妙和逻辑缜密，独具匠心之处令人拍案称奇。恰似鬼斧神工的构造，又如神来之笔的技艺，学习的过程就像是攀登一座巍峨秀丽的高山，层峦叠嶂，每一处都有令人心醉的美景。难怪有人这样说，伽罗瓦理论是每一位少年成长过程中智力升华的关键环节。伽罗瓦理论所蕴含的美学价值和精神力量，对于青年价值观和人格的塑造力量不亚于唐诗宋词。作为伽罗瓦理论的高峰定理的伽罗瓦基本定理可以看成是现代数学的发轫，它是数学最核心领域中摧枯拉朽的攻坚利器，在代数数论，代数几何这两块最核心的纯数学领域，随处可见伽罗瓦基本定理的各种奠基性的构建。而伽罗瓦基本定理本身又可以看成是一次建立群论与域论之间一一对应的奇幻之旅，在历史上它瞬间就明晰的解释了困惑人们几百年的5次及以上方程为何没有根式解的问题，同时让数学家很快认识到这种抽象理论的威力和它巨大的潜力。和傅立叶级数及分析不同的是，伽罗瓦基本定理没有简单明了的直观可视性，要把它讲明白讲透彻可不是件容易事，也不是本文所能企及的，以我个人学习的经验来说，推荐大家看刘长安先生写的《伽罗瓦理论基础》，这本书是我看过伽罗瓦理论入门书中最清晰透彻的，值得反复研读。这里，我们仅仅从另一个角度和读者分享对数学定理的感受，与最美公式的审美视角不同，我们更关注定理的力量性，以这个视角去重新审视一下浩如烟海的数学定理，那些看上去未必是第一眼美女的定理，却是如此的深邃，如此的犀利，它们合力将人类的数学文明提升了一大步。
天才少年伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832）
最后，我在这篇小文章要推荐一个压轴定理，没有它，其它定理怎么敢自称硬核呢？这就是变分法中的欧拉-拉格朗日方程。如果说复变函数理论是数学中至微至纯的理论的话，那么欧拉-拉格朗日方程则是一种思维上的拓展，它应用之广，威力之大，绝对不输傅立叶变换和伽罗瓦基本定理。如果把伽罗瓦基本定理看成理解数学结构的内家功夫的话，那么欧拉-拉格朗日方程绝对可以看作数学中走刚猛一路的外家功夫。特别从应用的角度看，它是解决应用难题的重型武器。当然，要熟悉了解并能自如的运用欧拉-拉格朗日方程解决应用问题，则是一个需要修炼的漫长过程。
著名的最速降线问题
历史上导致变分法理论建立的一个著名问题是数学家约翰伯努利在1696年提出的最速降线问题。我个人认为，这是最好的数学问题之一。为何称其为最好呢，一是它并非像费马大定理那样，难度太大，高不可攀，最速降线问题在提出后，很快就被那个时代诸多优秀的数学家解决。二是它能开创一大片数学的领域，就如同本文筛选硬核数学理论的审美标准之一，影响力大，在数学、物理、通信、计算机等领域有极强的应用和推广价值。在解决最速降线一类求极值函数的过程中，大数学家欧拉，拉格朗日先后创立了一套完整的理论体系，其核心就是古典变分法的基石欧拉-拉格朗日方程。欧拉-拉格朗日方程揭示了一个神奇的现象，一条极值曲线在微观上每一点必须遵循同一个特定的微分方程约束，这样看来，极值曲线是处处一致的，整体上极值曲线表现为最大或最小值，微观处则体现了高度一致性，整体与微观的深刻联系在欧拉-拉格朗日方程中得到了近乎完美的体现。对于每一个具体的问题，欧拉-拉格朗日方程成为寻找一个个具体微分方程的总纲领，源源不断的输出了一个又一个令人茅塞顿开的结果。变分法为数学，物理等很多领域开辟一大片广袤无垠天地，变分法后来的发展也融入进各个数学物理领域，变分法的内涵得到极大的丰富与扩充，数学家们发展了一系列强大的现代变分理论，很多大问题的解决过程里，都有现代变分理论的巨大作用。即使在古典领域，微分几何的测地线，极小曲面，物理中的分析力学，同样离不开变分法的思想，而欧拉-拉格拉日方程则是置身其中的核心方程。由此我们称欧拉-拉格朗日方程是数学中硬核的定理之一是实至名归的。