初中几何解题训练：探求变化中的不变
已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E和点F分别是边AB和AC上的点，且始终满足DE⊥DF，试确定DE与DF的大小关系。
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）（特殊情况，探索结论）如图1，若点E与点A重合时，点F与点C重合，容易得到DE与DF的大小关系。请你直接写出结论：DE DF（填“>”，“<”或“=”）
（2）（特例启发，解答题目）如图2，若点E不与点A重合时，DE与DF的大小关系是：DE DF（填“>”，“<”或“=”）。理由如下：连结AD，（请你完成剩下的解答过程）
（3）（拓展结论，设计新题1）在△ABC中∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，当点E在BA的延长线上，点F在AC的延长线上且始终满足DE⊥DF，如图若AB=AC=1，BE=2，求CF的长。
（4）（拓展结论，设计新题2）在△ABC中∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点，当点E在直线AB上，点F在直线AC上且始终满足DE⊥DF，如图，若AB=AC=1，BE=2，求CF的长。
解：
（1）【特殊情况，探索结论】
（2）【特例启发，解答题目】
∵AB=AC，点D为BC的中点，∴AD⊥CD，
∠ADC=90°，即∠1+∠2=90°
∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，即∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1，即∠ADE=∠CDF，
∴AD⊥DC(等腰三角形三线合一)，
由（1）可得：AD=DC，∠CAD=45°
∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°，∴∠BAD=∠C=45°，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF，AD=DC，∠BAD=∠C
∴△ADE≌△CDF（ASA）, ∴DE=DF，
（3）【拓展结论，设计新题1】
∴由（1）、（2）可知：AD=DC，∴∠EDF=∠ADC=90°，
即∠2-∠3=90°，∠2-∠1=90°，∴∠3=∠1，
即∠ADF-∠ADE=90°，∠ADF-∠CDF=90°，∠ADE=∠CDF，
∵由（1）、（2）可知：∠BAD=∠ACD=45°，
∴180°-∠ACD=180°-∠BAD，∴∠DAE=∠DCF=135°
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF，AD=DC，∠DAE=∠DCF
∴△ADE≌△CDF（ASA）, ∴AE=CF，
∵AB=AC=1，BE=2，∴AE=BE-AB=1，
（4）【拓展结论，设计新题2】
若点E在BA的延长线上，
∴由（1）、（2）可知：AD=DC，∴∠EDF=∠ADC=90°，
即∠2-∠3=90°，∠2-∠1=90°，∴∠3=∠1，
即∠ADF-∠ADE=90°，∠ADF-∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，
∵由（1）、（2）可知：∠BAD=∠ACD=45°，
∴180°-∠ACD=180°-∠BAD，∠DAE=∠DCF=135°
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF，AD=DC，∠DAE=∠DCF
∴△ADE≌△CDF（ASA） ∴AE=CF，
∵AB=AC=1，BE=2，∴AE=BE-AB=1，∴CF=1。
若点E在AB的延长线上，
∴由（1）、（2）可知：AD=DC，∴∠EDF=∠ADC=90°，
即∠3-∠2=90°，∠1-∠2=90°，∴∠3=∠1，
即∠ADE-∠ADF=90°，∠CDF-∠ADF=90°，∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∠ADE=∠CDF，AD=DC，∠DAE=∠DCF=45°
∴△ADE≌△CDF（ASA） ∴AE=CF，
∵AB=AC=1，BE=2，∴AE=BE+AB=3，
∴CF=3.
综合上述：CF的长1或3.
透过现象看本质——变化中的不变
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