无棱二面角的求法.doc

　　所给图形中，没有出现棱的二面角称为无棱二面角．求其大小的方法，归纳起来有以下五种．

　　1．两点法? 即根据两点确定一条直线，找到所求二面角的棱，然后作出其平面角解之．

　　例1? 如图，在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，求面 与面 所成二面角的大小．

　　分析? 因为 与 共面且不平行，故延长后必相交，设交点为 ，则 就是所求二面角的棱，于是作出其平面角便可求解．

　　略解? 延长 、 交于 ，连 ，作 于 ，连 ，则 就是所求二面角的平面角．

　　∵? ，

　　∴? ．

　　2．平行线法? 其理论依据是直线与平在平行的性质．具体作法是：在二面角的一个面内作（找）一直线与另一个面平行，则过二面角两面的公共点且与该直线平行的直线就是所求二面角的棱．

　　例2? 过边长为 的等边△ 顶点 、 ，分别引△ 所在平面的垂线 、 ，且 ，求面 与面 所成角的大小．

　　解? 取 的中点 ，作 交 于 ，则 ， ．又∵ ，

　　∴ ，∴ 是平行四边形，

　　∴ ，∴ 面 ．

　　过 作直线 ，则 为所求二面角的棱，且 ．

　　∴? ，即 ，

　　又 面 ，∴ ，

　　∴ 就是所求二面角的平面角．

　　显然 ．

　　（此题还可用两点法求解，读者自己完成．）

　　3．垂面法? 其理论依据是：如果两相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线必与第三个平面垂直．据此，如果图形中能作出一个平面与无棱二面角的两个面都垂直，那么该平面与二面角两个面的交线所成角就是该二面角的平面角．

　　在例1中，易证对角面 与面 及面 都垂直，故 就是所求二面角的平面角．显然

　　 ，或 ．

　　例2? 也可用垂面法求解，只须证面 与面 及面 都垂直．（留给读者完成）

　　4．平移法? 其理论依据是：一个平面与两个平行平面相交，它们所成的二面角相等或互补．具体作法，将无棱二面角一个面平移