「中考热点」基本模型——半角模型
建立模型
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD.求证：EF=BE+DF.
分析：要证明一条线段等于两条线段的和，我们首先想到的是'截长补短'添加辅助线.如下图，在线段EF上截取EG=EB.
如果能证明线段GF=DF，则结论得证.而要证明两条线段相等，且两条线段不在同一个三角形中，可以尝试利用全等.即证明△ABE≌△AGE.通过尝试，我们发现很难证明这两个三角形全等，所以'截长'无法得到我们想要的结果.再试一试“补短”，延长CD至点G，使DG=EB.如下图：
此时若能证明FG=FE，则FE=FG=FD+DG=FD+BE.结论得证.
而要证明FE=FG，只需证明△AEF≌AGF即可.
证明：延长FD至点G，使DG=BE.易证△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.
∴∠EAF=1/2∠BAD=∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=∠GAF
又∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF=GF=DF+DG=DF+BE
反思：1、本题中的辅助线：延长DG=BE，也可以通过旋转来实现（实际上就是将三角形ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数）.需要指出的是，如果用旋转，需说明C、D、G三点共线（证明∠ADG+∠ADC=180°即可）.
2、题中有三个非常重要的元素：（1）∠EAF=1/2∠BAD（半角模型名称的由来）；（2）AB=AD. 共端点的两条线段相等，这点尤为关键，它为下一步的旋转提供了条件.当题中出现一个角等于另一角的一半，且共端点的线段相等时，常采用旋转，将分散的条件集中起来，为下一步的证明做好铺垫. （3）对角互补.由于对角互补的存在，通过旋转，两边的两个三角形可拼成一个大三角形，进而可证明三角形全等.
一、半角结构之90°与45°
先来看一道题目：
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF.
证明：
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD且∠ABE+∠ADF=180°
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，此时点C、D、G三点共线.
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG. ∵∠EAF=45° ∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°
∴∠EAF=∠GAF. 又∵AF=AF.
∴△EAF≌△GAF.
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE.
模型应用1：
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.BE=2cm,
DF=3cm.求正方形的边长.
分析：根据上题的结论可知EF=BE+DF=5.
设正方形的边长为x，那么CE=x-2，CF=x-3.
在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CE^2+CF^2=EF^2，
即(x-2)^2+(x-3)^2=5^2，解得，x=6.
所以正方形的边长为6
以上的半角结构主要发生在四边形中，再次回顾半角结构中的重要元素：（1）半角 （2）邻边相等 （3）对角互补. 半角模型中经常通过旋转将分散的条件集中起来，进而通过三角形的全等进行证明.
在三角形中同样存在半角模型，下面以一道题为例来说明三角形中的半角模型.
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点D，E是BC边上两点且∠DAE=45°
求证：BD^2+CE^2=DE^2
分析：看到这个结论，相信大部分同学首先想到的是勾股定理，但DE,BD,CE不在同一个三角形中.所以要想办法将他们集中在一个三角形里面，根据题中条件AB=AC，共端点的两条线段相等，可以尝试旋转.
证明：因为AB=AC，且∠BAC=90°.将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG. 如下图：
由旋转的性质可知，△ABD≌△ACG.
∴AD=AG，∠BAD=∠CAG，∠ABD=∠ACG=45°.
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=∠CAG+∠EAC=45°
∴∠DAE=∠GAE
∴△DAE≌△GAE(SAS)
∴DE=GE
在Rt△GCE中
CE^2+CG^2=GE^2
∵BD=CG，DE=CG
∴BD^2+CE^2=DE^2
反思：对于本题，我们通过旋转将分散的条件集中起来，进而得到结论。观察证明过程我们可以发现△AEG其实也可以看作是将△AED沿AE折叠的结果.于是我们思考本题能不能通过折叠进行解决呢？
如图，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点F处，连接EF.先证明△ACE≌△AFE，再证明△DFG为直角三角形，勾股定理即可得出结论.
模型拓展1：
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC的延长线上，且∠FAE=45°.试探究EF、BE、DF之间的数量关系，并证明.
分析：根据前面的证明我们知道，当∠EAF在正方形内部时，EF=BE+DF.观察图形可以发现，显然在本题中线段BE的长度大于线段EF的长度，所以EF=BE+DF不可能成立.是否可能是EF=BE-DF呢？不妨一试.根据上题积累的经验，特别是题中有AB=AD这一条件，为旋转埋下了伏笔.所以可将△ADF进行旋转.如下图：
证明：因为AB=AD，∠ADE=∠ABG=90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG.
由旋转的性质可知，∠FAG=∠DAB=90°，又因为∠FAE=45°，所以∠GAE=45°..
所以∠FAE=∠GAE. 又AF=AG，AE=AE
所以△FAE≌△GAE
所以EF=EG=BE-BG=BE-DF.
反思：对于结论探索性问题，一般采用的方法是：观察、测量、猜想、证明.先通过观察，对各个量之间的关系有大致的想法，在通过测量验证自己的想法，结合测量猜想结论，最后通过一步一步有理有据的推理得出结论.当然，测量和猜想的先后顺序也可以调换，即先猜想结论，在通过测量进行验证，进而证明其正确性.
模型拓展2：
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点（不与B，C，D重合），且∠EAF=45°.对角线BD分别和AE、AF交于点M，N.连接NE.
求证：△ANE是等腰直角三角形.
证明：在△AMN和△BME中
∠MAN=∠MBE=45°
∠AMN=∠BME（对顶角相等）
∴△AMN∽△BME
所以AM:BM=MN:ME
又∵∠AMB=∠EMN
∴△ABM∽△NME
∴∠ABM=∠NEM=45°
又∠EAM=45°，所以∠ANE=180°-45°-45°=90°
∴△ANE是等腰直角三角形.
反思：1、解决本题的关键是发现题中的蝶形相似.即由△AMN∽△BME推出△ABM∽△NME.（见下图）
2、连接MF，则△AMF也是等腰直角三角形；
3、题中还能得到哪些结论？请你试着写出来，并证明.
二、半角模型之120°与60°
例1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.点D、E是BC边上两点，且∠DAE=60°.若BD=5，CE=8.求DE的长度.
分析：根据题中已知，∠DAE=1/2∠BAC，且AB=AC.这是一个典型的角含半角结构，将△ABD逆时针旋转120°可使AB和AC重合，从而将题中分散的条件集中起来.如下图：
模型应用2：
小结：半角结构在中考数学中经常出现，熟练掌握对解题大有裨益.其组成元素有：
（1）角含半角
（2）邻边相等，为旋转提供条件
（3）对角互补（限于四边形中).半角结构最常用的解决方法是旋转。