指数平均不等式的证明与运用

陕西省汉中市镇巴中学(723600) 刘再平 李 靖

对于实数a,b,且a̸=b,定义

为a,b的指数平均数,则

.

证明 先证指数平均不等式的右边,如下：

不妨设a＞b,即a-b＞0,ea-eb＞0,要证不等式的右边,即证a-b＞

,则证

换元,令a-b=t＞0,所以需证

构造函数

即证f(x)＞ 0.求导得

即f(x)为(0,+∞)上的增函数,则f(x)＞f(0)=0,不等式右边得证,同理可证不等式左边.

综上述所,指数平均不等式链得证.

上述指数平均不等式有着优美的几何意义,即“无字证明”,如下：

图1

图2

如图1,曲边梯形面积大于直角边梯形面积,即S曲梯 ＞ S直梯,所以

,即ea-eb＞

则

故不等式左边得证;

如图2,直角边梯形面积大于曲边梯形面积,即S曲梯 ＜ S直梯,所以

,即ea-eb＜

,则

,故不等式右边得证.

综上述所,指数平均不等式链得证.

运用上述指数平均不等式可以简解下述函数与导数压轴题.

例1 已知函数f(x)=ex,x1,x2∈ R,且x1=x2,若

求k的取值范围.

解 由题

不妨设x1＞x2,即x1-x2＞0,所以

由指数平均不等式|k|(ex1+ex2),又 ex1+ex2＞ 0,所以

,即

或

.

点评 此题运用指数平均不等式的右边恰到好处的放缩了原不等式,快速的获得了关于参数k的不等关系,简洁的求得了k的取值范围.

例2 (2013年高考陕西理科压轴题)已知函数f(x)=ex,x∈R.

(Ⅰ)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;

(ⅠⅠ)设x＞ 0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m ＞0)公共点的个数.

(ⅠⅠⅠ)设 a ＜ b,比较

的大小,并说明理由.

解 (Ⅰ)k=

;

(ⅠⅠ)当 0 ＜ m ＜

时,无公共点;当

时,有1个公共点;当m＞

时,有2个公共点.

(ⅠⅠⅠ)运用指数平均不等式“秒杀”如下：由

不妨令 b=x1,a=x2,则

故

得证.

点评 此道压轴题的压轴问只需要将题意翻译之后,便是指数平均值不等式的右边,问题迅速解决.

学习数学就要善于解题,数学解题的工具是双基,正如波利亚所说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”,也就是说知识面越广对数学解题的帮助势必越大,而此文阐述的指数平均不等式虽然教材上未曾提及,然而无疑是解决相关高考压轴题的好工具.