【仿真百科】对流-扩散方程
对流和扩散效应共同作用
示例：微通道中的对流和扩散
对于稳态的层流流动，沿速度场的流线不会相互交叉。而对于湍流，情况就不那么简单了，我们将在下面详细讨论。对于层流情况，由于对流仅传递与速度相切（即沿流线方向）的质量，因此，对流不能在相邻流体层之间引起质量传递。对于稳态的层流流动，只有扩散才能在垂直 于流体流动的方向引起质量传递。
对于微通道中的扩散混合，我们通过建立简单的模型，就能看出“与流动方向相切的对流”和“与流动方向垂直的扩散”之间的区别。在这个示例中，水从左上角和左下角的两个入口流入，从右上角和右下角的两个出口流出。由于装置为微米尺度，因此雷诺数很小，流动为 Stokes 流态，其流动剖面沿垂直轴和水平轴都对称。
假设我们仅从左下方的入口注入一种浓度为 1 mM (1 mmol/L) 的溶解化学物质，而在左上方入口注入纯水。当两种流体在通道中心线相遇时，会在垂直（y）方向产生浓度梯度，扩散作用会将溶质从通道下半部分输送到上半部分。下面的示意图说明了这种混合器的工作原理：
下图演示通过求解纳维-斯托克斯方程计算得到的流动强度。请注意，流线不交叉：
微通道内沿速度场（白线）的速度大小（彩色图）和流线。流动方向为从左到右。
由于扩散混合作用，右上方出口的浓度大于零，右下方出口的浓度小于 1 mM。以下绘图对比了沿通道的多个点的对流通量（青色）和扩散通量（红色）的大小和方向，并显示了浓度分布：
浓度分布（灰度图）、对流通量（青色箭头）和扩散通量（红色箭头）。在不同的尺度上，通过箭头长度表示对流和扩散通量的大小。
佩克莱特数
由上例可知，混合程度可以通过多种方式进行提高：
使用较窄的通道，增大垂直方向上的浓度梯度，从而增加扩散通量
增大扩散系数，从而增加扩散通量
使用较长的通道或减慢流速，使流体通过通道的时间更长，从而增加扩散时间
我们可以通过一个称为佩克莱特数（Pe）的无量纲数来量化这些影响。佩克莱特数是对流传质贡献与扩散传质贡献的比值：
其中，L 是特征长度尺度，U 是速度大小，D 是特征扩散系数。
质量传递中的佩克莱特数与动量传递中的雷诺数类似。
当佩克莱特数大于 1 时，对流效应在确定总质量通量方面的贡献超过扩散效应。对于超过微米尺度的系统来说，通常都是这种情况。然而，由于佩克莱特数与系统尺寸成正比，我们发现，在小尺度下，扩散对质量传递的贡献更显著，因此无需搅拌也能实现混合。大多数形式的混合（搅拌、摇动、静态混合器、湍流）的作用是减少扩散发挥作用所需的长度尺度，从而增加扩散传质的局部数量。
正常情况下，垂直于流体流动方向传递的佩克莱特数始终为零。这类似于上述说法，在相切的流体层之间，扩散是引起质量传递的唯一因素。由于流体通过长度为 L 的管道的时间尺度为 L/U；因此，可以根据扩散理论来计算流体在管道中流动一段距离后，与流动方向垂直的扩散长度 Ldiff：
鉴于当扩散长度尺度超过通道宽度 h 时，流体会高度混合。因此，我们可以说以下情况的混合是有效的：
即，以下无量纲数取较大值：
在层流对流-扩散系统中，预测的变量贡献与上文对微通道所做的简单直观的预测完全一致。
在实际的静态层流混合器三维模型中，我们也可以看到同样的趋势。在这个混合器中使用了固定障碍物来形成分叉流动，将入口浓度不均匀产生的浓度梯度分裂开。如此一来，流体会在通道的中点实现有效混合，如浓度剖面图所示。
在静态层流混合器中与流动方向垂直的切面上的浓度分布，绘图呈现了混合过程。
沿流动方向的切面上的浓度梯度图（如下所示）演示了如何放置挡板，可以将流动分离后再重组，从而使浓度梯度较大的流动区域实现最大化。
在静态层流混合器中沿流动方向的切面上的浓度梯度，与入口的阶梯型浓度剖面垂直。
由上图可以明显地看出，随着扩散长度的缩短，流体层之间的混合所需的扩散时间也会减少。这就是为什么静态混合器（如上图中的例子）能实现有效混合的原因。混合器可以增加溶质浓度不同的流体层之间的表面接触面积，并减小这些层之间的分离长度尺度。虽然对流可以明显缩短扩散的时间尺度，但产生混合的仍然是扩散作用。
湍流中的对流-扩散
湍流中不存在稳定状态。因此，上述简化并不适用。对流通量是沿流体粒子的真实瞬时速度方向，而不是湍流计算中常用的“雷诺平均”速度。因此，在湍流中，对流作用对混合的贡献往往更大。
通过数值建模来预测不规则、不断变化的瞬时速度是不现实的。由于这个原因，常规的做法是将“对流通量”表示为与雷诺平均速度成正比，并使用新增的扩散分量来计入额外的湍流混合，这个扩散分量等于湍流黏度 VT 与湍流施密特数 ScT 的比值：
其中，施密特数是观察到的动量扩散系数（黏度）与质量扩散系数的比值。这种数学方法与传热的 Kays-Crawford 理论类似。
由此可见，在湍流中，对于不相交的、时均 稳定流动流线之间的混合来说，对流传质非常重要。如前所述，湍流效应会导致瞬时流线在较短的长度尺度上频繁地改变位置，因而增加了流体不同区域的接触面积，并使扩散可以在这些区域之间更有效地进行质量交换。