y=x^x的性质（一）

1、性质（A）——函数y=x^x（x＞0）为凸函数：

（1）y′=x^x(1+lnx)

（2）y′′=x^x[(1+lnx)²+1/x]＞0.

（3）图象——勾线。

2、性质（B）：

（1）（x→0）x^x=1；当x＞1时，x^x＞1.

（2）当x=1/e(0.3679)时，x^x有极小值(0.6922)。

（3）自然底数e=2.718281828459045235360287471352662497757247……

3、性质（C）：当0＜x＜1时，(x₁)^x1=(x₂)^x2【0＜x₁≤1/e≤ x₂＜1】

（1）x₁=t^1/(1-t)=L(t)（0＜t≤1）

（2）x₂=t^t/(1-t)=L(1/t)（0＜t≤1）.

（3）L(t)的来源（略）。

4、性质（D）：x₁+x₂＜1.

（1）当1/4≤x₁≤1/e、1/e≤x₂≤1/2时，明显成立。

（2）当0＜x₁＜1/4、1/2＜x₂＜1时，

由性质(E)【1/2＜x＜1】x^x＞(1-x)^1-x可知，1-x₂＞x₁，得证。