第35讲：《可分离变量的微分方程与齐次方程》内容小结、课件与典型例题与练习

一、可分离变量的微分方程及其求解方法

可分离变量的微分方程及其求解方法的适用于一阶微分方程，可用该方法求解的微分方程类型及其步骤可以概括如下：

第一步：拆分导数表达式为微分形式，使得微分方程具有结构

第二步：对左右两端函数分离变量，如果可以拆分为形式

或者左右两端函数直接只包含一个变量，则该微分方程为可分离变量的微分方程；如果不具有这样的结构，则该微分方程不直接具有可分离变量的微分方程结构.

第三步：对于可分离变量的微分方程，通过乘除项的方法，可转换为

结构，然后两端关于各自变量求不定积分，即有

其中，为的一个原函数，为的一个原函数，则

即为所求一阶微分方程的隐式通解.

【注】如果微分方程不直接为可分离变量的微分方程，则可以考虑使用换元法，将其转换为可分离变量的微分方程来求解，比如课件中的例题与练习. 对于不能使用换元法转换为可分离变量的一阶微分方程的求解，则考虑其它方法，当然也有些根本可能无法求得其通解（解析解）.

二、齐次方程及其求解方法

 齐次方程(所谓齐次，各项次数相同)是指具有如下结构的方程

即右端项可以写成y/x的函数. 它的求解思路为换元转换为可分离变量的微分方程求解，即令

代入原方程即将原方程转换为可分离变量的微分方程，所以它其实也是一类可分离变量的微分方程.

三、微分方程建模的思路与步骤

在数学、力学、物理、化学等学科以及实际应用中，许多现象所符合一定的规律或定律，要依据这些规律研究变量与变化率之间的关系，也就是列出微分方程求解的过程。构建微分方程模型的思路一般分为两类，一类是基于已有变化率的，一类是基于微元法的。

1、基于已有变化率构建方程模型的步骤

第一步：确定问题中涉及的要素，比如自变量、未知函数、必要的参数与常数、坐标系等；

第二步：确定与未知函数的变化率有关的规律及定律；

第三步：依据规律直接写出变化率与自变量、位置函数之间的关系，即微分方程模型（微分方程表达式）；

第四步：设定初始状态，确定初值条件；

第五步：改写模型，将其化为标准形式的方程结构，求解初值问题。

2、基于微元法构建微分方程的步骤

第一步：确定自变量x与最终因变量y；

第二步：构建最终变量的变化区间，任取区间内点x，考虑增量dx，计算区间当自变量从x变化到x+dx时引起的因变量增量dy；

第三步：构建dx与dy之间的关系，即得到一阶微分方程模型；

第四步：根据已知条件，确定初值条件，即当自变量x取某个值时因变量的取值；

第五步：求一阶微分方程的通解，并由初值条件确定任意常数.

参考课件

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