你觉得自己懂加减乘除吗？| 袁岚峰

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导读

从自然数到八元数，你明白加减乘除了吗？

你觉得自己懂不懂加减乘除？

我的科大校友、中国科学院物理研究所研究员曹则贤博士，写了一篇文章《少年，要上大学了吧？学点加减乘除呗》，介绍了加减乘除概念的演变。我相信大多数人看了以后，会发现自己不懂加减乘除。

实际上，他介绍的是数的扩展过程。

最初，我们很容易就能接受自然数：1、2、3、4等等。

然后，为了表示像3 - 3这样的数，我们引入了0。

然后，为了表示像3 - 5这样的数，我们引入了负数。

此外，为了表示像3/5这样的数，我们引入了有理数。

然后，有一个重大发现，根号2不是有理数（你知道怎么证明吗？），即它不能表示成两个整数的商。为此，我们不得不引入无理数。有理数和无理数的整体，就是实数。

然后，即使在无理数内部，也有些无理数是比较简单的，有些是比较复杂的。例如根号2就很简单，它是

x² - 2 = 0

这个整系数方程的根。而圆周率π就很复杂，它不能表示成任何整系数方程的根（你知道怎么证明吗？）。我们把能够表示成整系数方程的根的数称为代数数，把不能的称为超越数。超越数的存在，就是一件惊人的事。

然后，在解方程时，我们会遇到负数开平方。这该怎么办呢？为此，我们引入了复数，即a + bi，其中i是-1的平方根。

复数可以理解为二元数，即由两个实数组成的一个整体。这些二元数可以按照一定的规则进行加减乘除，而且加减乘除的结果仍然在二元数的集合之内，这叫做“封闭性”。一旦你这么理解，问题立刻又来了：能不能扩展到更多元的数呢？

直截了当的想法是，下一个应该是三元数。数学家哈密顿（William Rowan Hamilton，1805 - 1865）思考了十几年，想提出三元数，但一直不成功。直到1843年的一天，他突然意识到，要满足加减乘除的封闭性，下一个至少需要是四元数，而不是三元数。

哈密顿(William Rowan Hamilton 1805～1865)

就这样，我们从自然数出发，一路狂奔到了四元数。一个四元数可以写成a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d是实数，i、j、k是三个单位虚数，它们的乘法是反对易的，即

ij = -ji = k。

由此导致，四元数不满足交换律，即

p × q一般而言不等于q × p。

这跟实数和复数是个巨大的区别。

这还没完。继续扩展会得到什么？

受到哈密顿的启发，同样是在1843年，另一位数学家John Graves提出了八元数。八元数连乘法的定义都不唯一了，有480种可能的定义。八元数既不满足交换律，也不满足结合律，即

p × (q × r)一般而言不等于(q × p) × r。

虽然这么复杂，八元数还是有个优点：它满足加减乘除的封闭性。再扩展就不行了。有一个定理叫做Hurwitz定理，它说的是：只有1-, 2-, 4-, 8-元数（即实数、复数、四元数、八元数）有除法，即两数相除还是那种数。

八元数示意图

Hurwitz定理

所以，我们终于可以告一段落了。现在，你觉得你懂加减乘除了吗？