【初中数学】题型汇总： 相交线

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相交线

【方法技巧】

1．判断两个角是否互为对顶角的关键是看这两个角是否有公共顶点，一个角的两边是否为另一个角两边的反向延长线．

2．判断两个角是否互为邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是否是公共边，另外两边是否互为反向延长线．

3.对顶角相等；角α的邻补角为180°－α.更多内容见公众号：初中数学解题思路.

4.题目含有多个未知角，且未知角之间有某种确定的数量关系时，往往设未知数，列方程求解．

5.具有多个数量关系的未知角问题，设一个或多个未知数整体求解．

题型一 对顶角与邻补角的概念与性质

【典型例题1】难度★

1、下列说法正确的是(   ).

(A) 作一条已知直线的垂线,有且只有一条.

(B) 两直线被第三条直线所截,同旁内角互补.

(C)两直线被第三条直线所截,同旁内角可以相等

(D)从直线外一点作直线的垂线段,叫作这个点到这条直线的距离.

【答案解析】过—个已知点有且只有—条直线与已知直线垂直,但—条直线有无数条垂线,故（A）错误;更多内容见公众号：初中数学解题思路.只有两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,而两条不平行的直线被第三条直线所截,同旁内角不会互补,如等边三角形的两个内角,也是同旁内角,可以相等,故（B）错误,（C）正确;直线外一点到这条直线的距离,是这个点到直线所作垂线段的长度,而不是这条垂线段,故（D）错误.所以选C.

【典型例题2】难度★★

∠1与∠2是同位角的有_________.

【答案解析】抓住同位角的概念解题,同位角一定是2条直线被第3条直线所截所得的角.除过④不是，其余均是. ②③⑤容易被干扰.答案：①②③⑤.

题型二　利用数学思想求角

【典型例题3】难度★★★

证明对顶角的角平分线互为反向延长线.

如图，设∠AOC和∠DOB是对顶角, OE、OF分别是它们的角平分线.

证明：OE、OF互为反向延长线.

【解题思路】证明OE、OF互为反向延长线，即证明∠EOF=180°.

【答案解析】如图，设∠AOC和∠DOB是对顶角，OE、OF分别是它们的角平分线.

∵OE、OF分别是∠AOC和∠DOB的角平分线，

∴（角平分线的意义）.

∵∠AOC=∠DOB（对顶角相等），

∴∠AOE=∠BOF，

∴∠AOE+∠AOD+∠DOF=∠AOD+∠DOF+∠BOF=∠AOB=180°，

即∠EOF=180°，OE、OF互为反向延长线.

【典型例题4】如图，直线AB，CE交于点O，∠AOD＝120°，OH平分∠EOD，OF平分∠COD，求∠HOF的度数．

【思路分析】本题未知数的个数多于方程个数，采用整体求解，设∠AOE＝x，导角整体法求∠HOF的度数．请您关注公众号初中数学解题思路.

【答案解析】设∠AOE＝x，则∠BOC＝∠AOE＝x(对顶角相等)．

∵∠AOD＝120°(已知)，∴∠DOB＝180°－∠AOD＝60°(邻补角性质)．

∴∠EOD＝∠AOD－∠AOE＝120°－x(角的和差)，∠DOC＝∠DOB＋∠BOC＝60°＋x(角的和差)．

∵OH平分∠EOD，OF平分∠COD(已知)，

∴∠HOD＝1/2∠BOD＝60°－1/2x，∠DOF＝∠FOC＝30°＋1/2x(角平分线定义)．

∴∠HOF＝∠HOD＋∠DOF＝60°－1/2x＋30°＋1/2x＝90°．

【典型例题5】如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE∶∠EOC＝3∶5，∠EOF＝∠BOF，若∠BOF＝∠AOE＋45°，求∠BOF．

【答案解析】分OF在∠EOB的外部或内部两种情形讨论.

设∠AOE＝3x，∠EOC＝5x．

(1)当OF在∠EOB外部时，∠AOF₁＝∠EOF₁－∠AOE＝∠BOF₁－∠AOE＝45°，

∴∠BOF₁＝180°－∠AOF₁＝135°．

(2)当OF在∠EOB内部时，∠BOF₂＝∠EOF₂＝∠AOE＋45°＝3x＋45°，

又∠AOE＋∠EOF₂＋∠F₂OB＝180’，

∴3x＋3x＋45°＋3x＋45°＝180°，x＝10°，∴∠AOE＝3x＝30°，∠BOF₂＝∠AOE＋45°＝75°．

故∠BOF＝75或135°．

题型三　相交线的规律探究问题

【典型例题6】难度★★★

讨论下列问题的解答:

请您关注公众号初中数学解题思路.

(1)平面内有n个点(n≥2),其中任意三个点都不在同一条直线上,过这些点中的每两个作直线,一共能作出多少条不同的直线?

(2)平面内有n条直线,每两条直线都相交,且没有三条直线交于同一点.记这n条直线将这个平面分成的区域数为an,试求出an与n之间的关系式.

【解题思路】这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来（可以用表格形式表示出来，然后归纳总结规律）.

【答案解析】(1)方法1 因为平面内n个点中任何三个点都不在同一直线上,所以过其中一个点与其他(n-1)个点中任意一个都可以作一条直线,且各不相同.这样,n个点共有n(n-1)条直线.但其中每一条直线都被计算了两次(例如直线AB在过点A的(n-1)条直线和过点B的(n-1)条直线中都被计入),所以共有

条不同的直线.

方法2 将这n个点依次编号:1,2,3,..,n.过第一个点和后面(n-1)个点中的任意一点,可以作出(n-1)条直线;过第二个点和后面(n-2)个点中的任意一点,可以作出(n-2)条直线(不能再和前面的点作直线,否则将重复);同理,过第三个点和后面(n-3)个点中的任意一点,可以作出(n-3)条直线;过第(n-1)个点和最后一个点,可以作出1条直线.这些直线各不相同,所以共能作出直线

(2)我们通过观察,进行归纳. 先作出前几种情形如图.

对应结果如表所示,从第二条直线开始,每增加一条直线,平面被划分的区域数在原有基础上依次增加了2,3,4,....

观察图中最后一幅,添上的第四条直线与前面的三条直线各有一个交点,这时平面区域增加了4个.一般地,当添上第n条直线时,根据题意,它与前(n-1)条直线都相交,增加了(n-1)个交点,这时新增加的平面区域数为n.注意到没有直线时,平面为1个区域.一般地,有以下规律

来源：初中数学解题思路