如何利用“对数微分”简化求微过程？

一般来说，对一元函数微分是比较容易的（可导与可微等价，dy=f'(x)dx），特别是与它的分析对应物（积分）相比。在一些情况下，我们希望事情简单一些。例如，考虑以下函数：

这只不过是一个简单的实数多项式。然而，当涉及到微分时，它就不再那么简单了。乍一看，有（至少）两种微分（求导）方法。

• 将括号里的内容展开，然后对每一项微分
• 使用乘积的微分法则。

显然，第一种方法不是一个很好的选择（太繁琐）。就使用乘积的微分法则而言，情况要好一些，但仍然不够简便：

在上述情况下，f的所有因子都是多项式，但如果我们有一个像下面这样的函数，会怎么样呢：

对数微分（Log-Differentiation）

那么，对于像g(x)这样复杂的情况该怎么办，因为使用通常的乘积微分法则会花费大量的时间。

我们可能还记得老师以前讲过，对数使运算更容易，因为指数变成了乘法，乘法变成了加法等等。我们可以通过取对数使这类函数的微分变得更加容易。

例如，考虑一个像下面这样的函数f：

假设上述乘积中出现的所有因子都是可微的，也是正的。那么f是正的，所以g是有意义的，其中g是以下函数：

现在，请牢记：

很容易得到下面的函数：

另一方面，观察一下：

可以得到：

因此，我们得到了一个很好的f的求导公式。虽然在计算中大量使用了对数，但得到的公式却没有对数，这主要是由于对数的导数本身并不包括任何对数，除了f中可能出现的对数。

推广

在上面我们假设f的所有因子都是正的。然而，这并不是上述结果成立的必要条件。事实上，请看下面等式：

将上述内容与链式法则结合起来，我们得到以下结果：

因此，对于任何可微调且不为零的函数f，上式也是成立的。就是说：

所以，上述公式适用于任何可微调且取非零值的函数。但是，对于有零值的函数又是怎样的呢？例如，假设f是一个这样的函数：

• f是在所有实数上定义的。
• f在任何地方都是可微的，但不知道在x=1处的情况。
• 存在以下极限：

我们将证明：

• 可微函数的一个准连续性属性。

实际上，如果使用洛必达法则，上述情况相对容易。首先，考虑极限：

• f在1处的导数。

上述极限，如果它存在的话，与f在1处的导数相等：

因此，由于上式右边的极限存在，我们很容易从洛必达法则中得到：

但是我们要讨论的是乘积和导数，而现在我们在证明的是函数导数的连续性。这里出了什么问题？实际上，没有什么。我们已经得到函数（其他函数的乘积）的求导公式，只对非零函数有效。然而，如果一个可微函数f在某些孤立点上有一些零点：

那么，通过上述公式，我们可以得到：

此外，在f的导数是连续的情况下（这是通常的情况），我们也可以对f的零使用相同的公式，只要上面的公式在零点定义得很好。

总结

一般来说，当涉及到函数的乘积时，微分可能是相当困难的。然而，利用一些对数和一点点代数，我们得出了一个很好的公式，在大多数情况下都是有效的。也就是说，对于任何可微的函数：

我们已经证明，如果在任何一点上，f都不为零，那么：

也许，这是我们第一百万次遇到这个公式。