学术简报︱考虑驱动线圈位移变化的电动振动台非线性电磁力建模与分析
同济大学新能源汽车工程中心的研究人员左曙光、黄荣奎、冯朝阳、胡坤，在2019年第21期《电工技术学报》上撰文，在二维平面直角坐标系内建立电动振动台的精确子域解析模型，求解区域划分为励磁线圈区域、驱动线圈区域和气隙区域，并采用基于傅里叶理论的通用公式给出各子域的磁感应强度通解，通过各子域之间的边界条件确定通解中的未知系数，从而实现电动振动台的磁场解析。
以某一大型电动振动台为例，将气隙磁通密度解析计算结果与二维有限元结果相比较，验证了解析模型的准确性。最后，在静态磁场解析结果基础上，考虑驱动线圈位移变化，利用电磁力求解公式计算得出驱动线圈随位移变化的非线性分布的电磁力。通过分析得出，负载磁场对原励磁磁场的影响使得气隙中磁通密度分布的不均匀性加剧，从而导致驱动线圈在运动过程中受到非线性的电磁力。
各种零部件在工作过程中受到多种振动环境的影响，从而影响零部件的可靠性和使用寿命。为了更好地保证零部件的质量，在零部件研发过程中需要用振动设备来模拟现实的振动环境，进行环境试验。作为目前市场上运用最广泛的振动设备，电动振动台的工作频率范围宽，约为0.002～20kHz，还具有动态范围宽，易于实现自动和手动控制，产生很大的加速度等优点。
然而，电动振动台内部是一个非线性系统，这些非线性因素会导致振动台加速度输出波形出现谐波失真的现象。因此，从电动振动台的工作原理出发，研究其内部的电磁非线性来源具有重要的实际意义。
电动振动台工作机理分析方法有三种：有限元法、试验法以及解析法。目前，国内外学者的主要研究方法是有限元法和试验法。
有学者建立了电动振动台的电磁和结构有限元模型，仿真发现，气隙中磁通密度分布具有不均匀性，但没有进一步分析磁通密度不均匀性的来源以及它对振动台电磁驱动力输出的影响；
有学者建立了电动振动台动圈有限元模型，用来作为控制仿真的被控对象，并未对振动台工作机理进行分析；
有学者通过试验法发现了电磁力和位移存在的非线性关系，并对电磁力因数采用高斯公式进行拟合，但都没有对非线性电磁力的产生机理进行深入研究，且有限元法和试验法具有工作量大，耗时长等缺点，关于电动振动台的解析模型，鲜有学者研究。
对于电磁场的解析方法，主要有三种：等效磁路法、磁势乘磁导法以及利用泊松方程或者拉普拉斯方程求解的精确子域法。
等效磁路法和磁势乘磁导法，需要对磁路进行等效处理，例如磁感线长度、磁阻等，这些等效虽然会给解析过程带来很多简化和方便，但是也造成解析结果不够准确。精确子域法对于磁场解析问题求解精度高。
有学者对于特定边界条件采用分离变量法对拉普拉斯方程或者泊松方程进行求解，这种方法求解结果准确，但是求解过程复杂，而且没有统一的公式来解决同一类问题，缺乏灵活性和通用性。
有学者提出一种基于傅里叶理论的通用公式法求解拉普拉斯方程或者泊松方程，该方法不仅求解精度高，并且具有普遍适用性。精确子域法目前普遍应用在电机电磁场的求解中，且求解的都是静态磁场，该方法应用在电动振动台模型中需要考虑振动台实际磁路结构的非对称性，以及上下直线运动过程中动态电磁力分布的非周期性及非线性。
为了对电动振动台电磁工作机理进行研究，本文首先采用解析法，建立了电动振动台精确子域解析模型，利用基于傅里叶理论的通用公式法求解每个区域的拉普拉斯方程或者泊松方程，并利用有限元仿真结果对解析结果进行验证。最后，通过考虑驱动线圈的位置变化，计算出随驱动线圈位移改变而变化的非线性电磁力，且通过励磁磁场和负载磁场间的相互作用规律对非线性电磁力产生机理进行分析。
图1 电动振动台结构
本文首先建立了电动振动台解析模型，采用基于傅里叶理论的通用公式法对方程进行求解，进而将解析计算结果和有限元仿真结果进行对比，验证了解析的准确性；并利用解析结果引入了驱动线圈位置变化，进一步计算得出随位置变化的非线性电磁力分布规律，并对非线性电磁力的来源及产生机理进行了分析。
通过上述研究，可以得出以下结论：
1）建立电动振动台精确子域解析模型，磁通密度解析计算结果和有限元结果较吻合，最大误差不超过1.5%，证明本文建立的精确子域模型有效。
2）基于傅里叶理论的通用公式法求解子区域的泊松方程或者拉普拉斯方程，该方法不仅具有求解方便的优点，且具有通用性和普遍适用性。
3）在精确子域法的基础上，考虑了驱动线圈位移变化，计算了随位置变化的非线性电磁力及力系数。并分析得出，由于负载磁场对原励磁磁场的影响加剧了气隙中磁场分布的不均匀性，从而导致了电磁力呈现一定程度的非线性，且负载越大，电磁力非线性越强，在满载工况下，力系数波动率高达15%，因此，由此引发的电磁力非线性必须引起足够的关注。