迈出成为物理学大师的第一步，应该这样去求解物理学问题

成为物理学大师是一个漫长的过程，需要做大量的思考和研究，本文将让你迈出第一步。

我们经常谈论物理学，好像它仅仅是一些事实和方程式。F=ma、能量既不能被创造也不能被毁灭、E=mc^2、恒星是由氢气聚变成氦气和更重元素的巨大球体等等。这些事实和方程式既可以构成我们理解的基础，也可以是我们理解的结果，但做物理学就是要把这两者联系起来。

我不可能把每一个问题中使用的每一个技巧和准则都说出来，这里我介绍一下物理学中最常用的一些技巧和准则。

尽量列出一个明确的方程式

你可以使用方程来解决相当数量的问题，有n个未知量就需要列出n个独立方程。

例子：天体力学

如果太阳的质量是目前的百分之一，而地球的轨道不变，那么地球要花多长时间才能绕太阳一圈？

开普勒第三定律将太阳的质量、轨道的半径/半主轴和轨道的周期联系在一起，因此我们可以通过解开普勒第三定律中的T并插入我们已经知道的数值来得到周期。

一个高级技巧

每当你遇到一个物理问题，在一个公式中改变了几个数值（在本例中，太阳的质量），试着用改变前的数值来表示答案。对于这个问题，我们不必查找任何物理常数，甚至不需要计算器。

请注意，蓝绿色的表达式是一样的，所以我们可以把它代回来，除了地球绕太阳一周需要一年的时间外，不需要知道任何东西。你可以通过用地球的周期除以新的周期，并将其约去，得到类似的结果。

延伸

我只讨论了有一个未知数的奇异方程的情况，但是如果有n个未知数呢？我们将在后面讨论具体的例子。

多去尝试

如果你无法理解题意，无从下手，那么利用你所得到的信息做一些尝试，即使你不知道是否有用。物理学经常要求我们利用已知道的信息，找到一个能得到更多信息的方程式，然后重复这个过程，直到有足够多的信息来回答问题。

例子：运动学

一架质量为m的飞机以一个恒定的合力F从静止到达速度vf ，需要多长的跑道？

“跑道需要多长 ”让我们求一个距离。现在已经知道的是质量、力、初速度和最终速度。你可能想尽可能地使用一个明确的方程，但对于这个问题是不能的。因此，利用所给的信息，去寻找只包含一个变量的方程，你会发现经典的F=ma，而你已经知道F和m，所以很容易求出a，即加速度。重复上面的思考过程，你会发现其中一个运动学方程有a、s（距离/位移）、vi（初始速度）和vf（最终速度）。

这样，我们很容易得出问题的答案。随着你的经验越来越丰富，你会记住一些规律，如 "用F=ma，然后用运动学方程来获得速度、时间或距离"。

但我之所以能想出这些方法，是因为我一直遵循这一准则，不断犯错，并从中吸取教训。在解决一个问题时，犯错的方法只有这么多。只要你不断尝试，尽量不犯你已经犯过的错误，你就会没有错误可犯了。

单独看每个维度

在笛卡尔坐标中，每个维度都是正交的。在实践中，可以创建一个每个维度有一个方程的方程组。

扩展

在更高层次的物理学中，你会看到这种方法的一些扩展：利用对称性来减少必须考虑的方程数量，变量分离法，以及本征函数展开方法（你可以把每个本征函数当作一个独立的维度）。

例子：弹道学

忽略空气阻力，假设地球的曲率可以忽略不计，那么炮口速度为v的大炮的最大地面射程是多少？

我们可以单独考虑x和y维度，并使用运动学方程来解决问题。我们必须用正弦和余弦将速度分成x和y两部分。由于我们有一个由两个方程组成的系统，因此可以有两个未知数。但这个问题似乎有三个未知数，因为我们不知道θ，即大炮发射的角度。但我们可以得到另一个方程，因为还有“射程最大化”这个条件，可以用一个未知数得到射程，然后取射程相对于该未知数的导数，将其设为零，在新方程中求解该未知数，然后选择得到最大值的解。

在这种情况下，我们知道：

• 初始位置：(0, 0)
• 初始速度矢量：(v cos θ, v sin θ)
• 加速矢量：(0, -g)

我们也知道最终的y位置，因为射程最大时炮弹将落地，所以y为0。

两个运动学方程将初始速度和初始加速度与位置联系起来，每个方程都有一个不同的未知数。如果我们使用将最终速度作为未知数的那个方程，我们最终会得到：

在X方向和：

在y方向上，我们取负解因为炮弹落地时向下运动。这个运动学方程没有给出距离，因为我们不能用一个方程的信息来解决另一个方程，反之亦然。如果我们改用以时间为未知数的运动学方程：

结果是：

这意味着我们可以通过用θ求解t，反之亦然。看一下y方程就会发现：

我们选择了t的非零解，因为炮弹在t = 0时位于（0，0）。因为我们用θ表示t，我们可以把它代回到方程中，得到：

现在，唯一的未知数是θ，所以我们要找到使射程距离最大化的角度，通过使用前面描述的过程得到：

解这个方程有多种方法，但我打算用纯数学的方法来解（这在以后的数学和物理学中会更有用，尽管它对这个问题来说是多余的）。我打算使用弧度，因为数学和物理学通常用弧度更容易：

利用一些基本的数学知识，就可以得到最终的答案：

例子：平衡力

一辆汽车以恒定的加速度向前移动。如图所示，在汽车内部，一个质量为m的平衡环挂在一根紧绷的绳子上，与直挂的角度相差θ。确定汽车的加速度。

环上有三个力。

• 汽车的加速度
• 重力
• 绳子的拉力

由于我们处理的是一个已知净加速度的物体上的力（即0，因为它处于平衡状态），而且我们知道所有力的方向，我们可以画一个受力图：

请注意，来自汽车的力完全在X方向，来自重力的力完全在Y方向，而来自绳子的力有X和Y两部分。和前面的问题一样，我们可以用正弦和余弦将拉力分解成x和y两部分。由于θ是相对于正y轴而言的，我们通过乘以cos(θ)而不是sin(θ)来得到拉力的y分量。同样地，我们必须乘以sin(θ)，才能得到拉力的x分量。通过将这个系统分解成每个维度的一个方程，我们最终得到了：

你可能会想，这里卡住了，因为我们现在不知道除了重力以外的任何力。我们可以尝试一些方法，用F=ma来代替所有的力，由于所有的力都在影响环，我们可以做以下的事情：

之后，我们求解汽车的加速度，最后得到一个由拉力和θ组成的加速度的表达式。

我们知道θ，所以我们需要另一个方程，将拉力的加速度与我们知道的其他东西联系起来。把后面的加速度的表达式插入汽车的加速度中，通过下面的过程，我们得到了最终的答案g tan(θ)。

请注意，你不需要知道环的质量，尽管问题中已经给出。在现实世界中，你经常会有比你需要的更多的信息，所以你需要弄清楚哪些信息需要使用，哪些需要忽略。

例子：电场的对称性

有一条无限长的电荷线，电荷密度均匀（为 λ）且没有电流，那么距离该电荷线r处的电场强度是多少？

这个问题需要用矢量微积分来完全理解，但一般的对称性原则仍然成立。

如果你愿意，你可以对整个电荷线进行积分，得到一个答案。但是利用高斯定律可以一眼看出答案（我可以告诉你答案是λ/(2πεr)，因为用高斯定律计算是很容易的。然而，为了尽可能有效地使用高斯定律，我们必须找到一个完整的表面，可以在导线的任何地方使用，使电场相对于表面的大小和方向不发生变化。利用对称性来计算出表面，设置一个坐标系，使电荷线沿着Z方向并且假设所有电荷都是正的（意味着电场指向远方。

由于电荷线是无限长的，所以电线上的每一点在两侧相同的距离上都会有相同的电荷量。

这个事实让我们可以作以下两个假设：

• 电线沿其长度方向具有平移对称性，这意味着电线的Z分量并不重要，我们可以选择电荷线的任何部分来绘制所需要的表面。

• 电场的Z分量为零，因为电荷分布在每个点周围的Z方向上是对称的。

• 这个场是不可能的，因为它有一个正的Z分量。

• 所有可能的场都没有Z分量。

我们还可以注意到，绕着电荷线旋转并没有改变电荷的分布，所以我们也有旋转对称性，这意味着电场不可能看起来像这样：

• 使用numpy和pyplot绘制的

其中，红点是垂直于屏幕的导线。它也不可能看起来像这样：

因为磁场是恒定的（具体来说是0），而且麦克斯韦-法拉第方程意味着它没有任何曲率。因此，电场只能看起来像：

箭头的长度会有所不同，但这是正确的方向。

在这一点上，我们要找的是一个可以围绕电荷线旋转或沿着电线滑动的表面，这意味着我们可以用一个以电线为中心的圆柱体作为我们要找的表面。因此，在这种情况下，高斯定律就是：

长度为L的圆柱体中所包含的电荷量只是Lλ，所以方程的右边已经解决了。通过表面的总磁通量是通过圆柱体两端和圆柱体侧面的磁通量之和。把这些带进去就可以得到：

由于电场垂直于圆柱体的底部(用表面法线表示通量)，所以它们的通量为零。

由于电场直接指向圆柱体的侧面，积分中的点积就变成了二维积分，这只是圆柱体侧面的表面积。我们可以通过一些代数得到答案。

随着经验的积累，你会认识到圆柱体的对称性，这时你就可以不费吹灰之力从高斯定律到数学了。

使用守恒量

尽管你可以用力和力矩来计算经典力学中任何东西的运动，从而计算出其他相关的量，但这样可能会很麻烦。如果你想知道一个从直线坡道上滚下来的球（没有打滑和空气阻力）在坡道底部的速度是多少，那么你可以使用力和力矩，即使工作量很大。

• 所有的力自始至终都是一样的。

那如果是弧形的坡道呢？你将不得不计算一个力的路径积分，这取决于位置的变化。

在最好的情况下，即使你得到了一个解，也会花费非常多的时间。相反，寻找守恒量可以让你迅速得到一个正确的答案。在物理学问题中，最常见的三个守恒量是

• 线性动量：系统上没有净外力意味着总的线性动量是守恒的。
• 总机械能：系统中的物体没有空气阻力、滑动、摩擦或损坏，可能意味着系统的总机械能是守恒的。用更专业的术语来说，如果每一个点上的所有力都形成一个保守的矢量场，那么能量是守恒的。如果问题指定的是弹性碰撞，那么总机械能也是守恒的。
• 角动量：物体会旋转，没有净外力矩。

如果你能得到线性动量或角动量守恒，你就能得到每个相关维度的方程式。如果能量是守恒的，你可以得到一个自由方程，这个方程往往可以让你以较少的努力得到更多的信息。

例子：动量和能量守恒

一个宇航员在太空中把一个在位置（-1，-3）的球撞向另一个在位置（0，0）的同等质量的球，然后这个球继续撞向位置（2，3）的墙。在碰撞之前，第一个球以速度vi运动。碰撞后两个球的速度是多少？假设没有摩擦，没有空气阻力，没有重力，也没有旋转。

机械能是守恒的，因为问题告诉我们碰撞是弹性的，所以这将得到一个方程式。我们还可以从动量守恒中得到一些方程，因为球上没有外力。我们有三个未知数：

• v1，第一个球的速度
• v2，第二个球的速度
• 碰撞后第一个球的方向

我们知道第一个球在碰撞前的方向，因为它从（-1，-3）到（0，0）。同样地，我们知道第二个球的方向，因为它从（0，0）到（2，3）。接下来，我们将对这些向量进行归一化处理（用它们的长度除以它们的长度），这样我们最终只得到方向。我们将在这些向量上加一个^，这样我们就知道它们是单位向量了。

我们对v2的处理过程与对vi的处理过程相同。现在我们有了单位向量，我们可以把这些向量表示为大小和方向的乘积。

我们先看一下动量方程：

现在我们有了一个关于v1的明确方程，我们就可以看一下总机械能方程了。请注意，由于v1是一个矢量，我们可以将其与自身作点积，得到其大小的平方，这就是我们在动能方程中需要的。

由于向量之间的点积是一个标量，我将用符号C来代替它。

现在，我们把它带入总机械能方程中，最终得出问题的答案。

舍弃v2=0的解，因为我们知道v2不为零，所以我们只剩下另一个解。我们把v2的结果带回v1的方程中，就完成了。

例子：能量守恒

一个质量为m、半径为R、密度均匀的球开始从一个斜坡（不一定是平的）上滚下来，没有空气阻力，没有滑动。球在到达坡道前有一个初始速度vi。坡道的顶部比坡道的底部高出h米。当球到达坡道底部时，它的速度是多少？

由于既没有空气阻力也没有滑动，我们可以使用能量守恒。在坡道的起点和坡道的底部都有重力势能、平移动能（质量和速度）和旋转动能（惯性和角速度）。假设底部的势能为0，以使数学计算更容易。

由于它在任何一点上都没有滑动，因此在每一点上：Rω=v，这意味着还有两个与速度和角速度有关的方程：一个在开始，一个在结束。最后，需要知道球体的惯性矩，我们可以通过直接积分或查表来得到。

将所有内容带入能量方程中，可以得到：

消去质量：

还可以使用Rω=v的替代方法，将变量的数量减少到一个未知数和三个给定变量。然后可以求出最终的速度。

你可能认为最终速度应该取决于质量或物体的半径，但事实并非如此。注意，没有空气阻力，唯一被添加到球体上的能量来自于重力，它为物体提供了一个恒定的加速度（无论质量如何）。同样，更大的半径意味着更大的惯性力矩，但由于没有滑动，角速度、速度和半径被限制在这样一种方式中，旋转动能与半径无关。

概括

如果我们让c是转动惯量和质量乘以旋转半径的平方的比值，我们就能得到通解：

如果物体没有惯性矩或者不能旋转（比如说一个在没有摩擦力的表面上滑动的盒子），我们就会得到标准的运动学方程式

了解导数

这个小标题有点不准确，"了解各种量之间的基本关系 "会更准确，这些关系大多是用导数（或等价的积分）来定义的。所有五个运动学方程都可以从速度是位置的时间导数、加速度是速度的时间导数以及恒定加速度的假设中得出。其他重要的物理学关系是：

• 力是动量的时间导数和势能的负梯度（一种通用的空间导数，可以用不同的坐标系和任何数量的维度来表示）。

• 扭矩是角动量的时间导数。

• 在一个非旋转系统中的功是力相对于位置的路径积分。

• 旋转系统中的功是扭矩相对于角位置的路径积分。

不到万不得已，不要带入数字

因为我在所有的例子中都使用了这一技巧，所以我就不举例说明这一准则了。把所有东西都放在变量里有几个好处：

• 你可以通过改变给定值的逻辑极端来判断答案是否有意义
• 在一系列算术运算中找到导致错误的具体步骤比在一系列代数运算中找到错误要难得多。
• 变量通常会被抵消，使方程更简单。

最后

物理学主要是以一些具体的事实和方程为基础的数学。学习数学会给你带来新的方法、捷径，以及对物理学更深的理解。对于基础物理学（动量、能量、力、扭矩等），我建议学习一些基本的线性代数（向量、点积和叉积）、三角学和单变量微积分。对于基础电磁学，我建议学习多变量微积分。跟进一步，我建议学习常微分方程和偏微分方程。虽然我可以把我所知道的东西都告诉你，但最好的方法是通过不断试错去锻炼自己。。