每日一题339：基于泰勒公式的定积分与被积函数值不等式关系的证明思路与方
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习339：(1) 设在上二阶可导，且， 为任意正数. 证明：
(2) 设在上二阶可导，且， . 证明：
先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习339：(1) 设在上二阶可导，且， 为任意正数. 证明：
(2) 设在上二阶可导，且， . 证明：
【参考解答】：(1) 由于已知函数二阶可导，且不等式中有函数值，故考虑处的泰勒公式探索验证思路. 于是有一阶带拉格朗日余项的泰勒公式为
其中在与之间，故. 由于，故在内，有
令，得
两端在区间积分，得
代入两端积分式，得
(2) 类似于上面的思路，函数在处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式为
其中在与之间，故. 又，故
令，并在上积分. 由于
且，故得
【注】：此题曾作为多个大学的数学分析课程研究生招生考试试题，本文综合、改编整理推送.
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