每日一题336：罗尔定理、拉格朗日中值定理与零值定理综合应用的简单中值命题的证明

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

练习336：设在上导函数连续，且存在，使得. 证明： 存在，使得

先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

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练习参考解答

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练习336：设在上导函数连续，且存在，使得. 证明： 存在，使得

【参考解答】：改写所需验证的等式，有

其结构具有常见的中值命题结构，即

对于该类中值等式的证明，可以构建辅助函数

由于，故原等式等价于

【注】：常见中值等式命题证明辅助函数的构建表达式结构及辅助函数构建思路与方法可以参见“系列专题04 《微分中值定理》中值命题证明思路与典型题分析(一)-罗尔定理”. (直接点击可打开阅读)

根据以上等价命题，令

由题设可知函数在上具有连续导函数，则在上连续，且.

(1) 当时，则在上满足罗尔定理的条件，故存在 ，使得，即

由于，故有

(2) 若，则. 在上由拉格朗日中值定理知，存在，使得

又, ，得

于是

所以由闭区间上连续函数的零点定理知，存在 ，使得. 由(1)知结论成立.

综上可知，原题中所证等式成立.