越剪越大？莫比乌斯环到底神奇在哪里？| No.231
一条纸带头尾相接得到一个纸环
从中间剪一刀能得到什么？
两个纸环？不。
对于莫比乌斯环
从中间剪开会得到一个更大的纸环
但莫比乌斯环的特性消失了
莫比乌斯环和普通纸环
这两者到底有什么区别呢？
Q1
为什么手机摄像头是圆的，照出来的照片却是方的？
by 洛
答：
圆形的相机镜头在光学成像效果、加工难度等方面相比方形有巨大优势，所以市面上大部分相机镜头都是圆形的。那为什么照片是方的呢？直接原因就是——相机中将光信号转化为电信号，从而成像的感光元件是方形的。
这张就是相机的圆形镜头 这张中间蓝色的方块就是拆下镜头之后，相机内部的感光元件 而相机的感光元件为什么要设计成方形的呢？一方面是因为照片打印等过程中，圆形照片相比方形要浪费大量空间；另外一方面目前照片、视频查看方式，如手机、显示器、海报、插画、电影等也都是方形，短期内不会有太大改变，所以大部分相机感光元件都设计为方形啦~
by 书蠹诗魔
Q.E.R.
Q2
大气压强是谁决定的？
by 匿名
答：
简单来说，是重力和温度共同决定了大气压强。假设大气是局域平衡的，那么由气体受力平衡可知，其中为大气压强，为大气分子数密度，而则是大气中气体分子的平均质量。另一方面，我们可以近似认为局域的空气仍然满足理想气体的状态方程。
为了求解，我们还需要知道温度随海拔的变化关系。事实上大气层可以分为靠近地面的对流层以及更加上方的平流层、中间层、电离层以及外层，每一层都有明显的特征，其温度随高度变化的关系也完全不同。为了简单起见，我们这里只分析对流层的平衡态模型。这一层的气体不能直接吸收太阳发出的短波辐射，但能吸收地面的反射的长波辐射，因而靠近地面的空气温度高，远离地面的空气温度低。当气体受热时，其趋向于膨胀从而密度下降。因此热空气趋向于上升而将热量向上传递，这就是对流过程。当一个给定高度的空气团的密度与其周围环境的密度相同时，对流将达到平衡。考虑到空气实际上是不良热导体，因而我们可以假设气团在上升和下降的过程中没有与外界交换热量，换句话说我们假设气团经历的是绝热过程。由理想气体的准静态绝热方程有：
其中是大气的绝热系数。有了这些关系式，我们就可以得到大气压强和温度随海拔的关系：
其中和分别是海平面处的空气的压强和温度。从上面的式子可以看到在大气层对流区，空气的温度是随着海拔的升高线性降低的，这与我们熟知的海拔每上升1000m，气温下降6.5℃的生活经验符合地很好！大气对流层的高度大约为10km，在这个高度范围以内，气压随海拔的变化大致如下图所示：
参考资料:
百度百科 大气层 维基百科 Altitude by John Watson
Q.E.R.
Q3
声音是以波的形式传播，可不可以制造一个正弦函数波使得波峰波谷相互抵消，那样不就可以隔声了嘛？by 天使花语
答：
这是很有趣的点子，最早是德国科学家P. Lueg阐述了类似原理，并在1936年提交相关专利。在原始噪声上叠加波形相同、相位相差180度的声音，当两个信号相互叠加时，会产生干涉相消现象，这也是主动降噪最早的理论原型，可惜当初没有成型的声音检测、处理设备，无法将理论变为现实。
Lueg申报专利中噪声控制的原理图 随着技术发展，现在市场上已经有不少型号的耳机可以做到主动降噪。工作原理基本是耳机内置的麦克风先捕捉环境中存在的噪声 ，将信号传给降噪电路处理出相位相差180°的声波，再通过扬声器在我们耳边播放。可是这些步骤都要花费时间，生成的声波不可避免的存在延迟，并不会是我们所期望的波峰在对的时间遇见波谷，相互抵消的情景。假如这个延迟为0.1ms，空气中声音传播的速度为340m/s，本应叠加的波峰与波谷就会错开3.4cm的距离。对于频率为170Hz，波长为2m的低频声波，这段距离没有什么影响，但考虑到1700Hz的高频声波波长仅为20cm，这时延迟带来的误差令波峰波谷的配对变得混乱，叠加后的声波有可能会增加噪声。而资料显示市场上的降噪耳机时间延迟多在ms量级，这也是目前主动降噪耳机一般负责处理低频信号的原因。看似简单的降噪原理从纸上的专利走到日常生活花了几十年，小编十分好奇未来是否有技术可以让波峰和波谷在最准确的时间相遇相消。
参考资料：
Paul, Lueg. Process of silencing sound oscillations[P],1936,2043416 陈端石, 关元洪. 噪声主动控制研究的发展与动向[J]. 应用声学, 2001, 20(004):1-5. 全新款Bose真无线降噪耳机测评 by 观山不易
Q.E.R.
Q4
为什么打呼噜的人能吵醒别人，却吵不醒自己？
by 匿名
答：
打呼噜（打鼾）是由于熟睡的人在吸气的过程中，气流在呼吸道中受到阻碍无法顺利通过，使得喉咙后部的薄膜组织振动而产生的。
相信不少人有这样的经历，遇到一个鼾声很大的室友，基本上他（她）睡着了你就别想睡。很多长期打呼噜的人往往呼噜声很大，而为什么如此大的声音把周围人折磨的半死自己却能无动于衷呢？主要还是源于以下两个原因。
首先，打呼噜这件事一般发生在深度睡眠阶段，这个阶段意识几乎与外界断开，很难唤醒，深度睡眠（占睡眠时间的25%）对人体健康非常重要，这个阶段人体代谢降到最低，使得一天的疲劳得以缓解，打鼾实际上在破坏这种状态，所以千万不可把打鼾作为睡眠质量好的标准。其次，我们的大脑对自己的呼噜声频率响度等等信息其实是很明了的，以至于能主动“屏蔽”掉呼噜声，就好像别人挠你痒痒你觉得痒，自己挠就不痒了，因为你大脑知道你想干嘛。
当然，打呼噜的人也不是绝对就不会被自己的打呼噜这件事弄醒。比如有时候突然呛一口气，乱了打呼噜的节奏，大脑一下子反应不过来，可能就把自己吵醒了；也可能呼吸道堵塞严重导致缺氧，感觉要窒息了的人瞬间惊醒，算是一种求生本能；另外深度睡眠阶段人也不是一点意识没有，有的人确实偶尔能知道自己在打鼾。
说在最后。大部分人可能是因为疲惫了之类的原因才打呼噜，稍微调整一下睡姿就没声了，这种情况对健康没什么影响。但如果呼噜声很响，甚至需要张开嘴才能换气，白天还可能疲惫不堪，那不管是为自己好还是为身边的人好，都该及时就医了。
参考资料：为什么打呼的人不会吵醒自己？
by Alan
Q.E.R.
Q5
在黄河中取一杯浑浊的水，然后静置一段时间水的上面会变得清澈水的泥沙会沉到下面，请问这个过程到底是熵增还是熵减？如果是熵减那是为什么？by 匿名
答：
这个过程是一个熵增过程。
熵有两个定义，一个是克劳修斯的宏观热力学熵，，是熵，是热量，是温度，是作为体系的一个状态量，这个时候其实还搞不明白熵的物理意义是什么；后来波耳兹曼提出熵的微观表达式（这个公式被刻在玻尔兹曼墓碑上），是体系的微观状态总数，人们才知道熵体现了体系的混乱程度！很多人其实就只知道最后这句话，但要明白“混乱”指的是微观状态数多，这不代表肉眼看起来就一定“乱”。
题目问题容易出现这样一种误解：那就是沉积以后液体固体分开了，看起来更有序了，熵应该减小，至于为什么减小呢？“肯定是”因为污水是一个开放的系统而不是孤立系统，与熵增原理没有矛盾。这样解释看似正确但其实非常错误，因为即便我们把污水装在绝热的密闭容器里使之成为孤立系统，在重力（引力）的作用下，污水依然必将发生分层。可这说明热力学第二定律（在重力作用下）失效了吗？绝不是。
其实啊，微观熵定义中的微观状态数并不是坐标空间中的状态数，而是总的考虑到坐标和动量（或能量）的相空间中的状态数，简单来说就是，确定一个微观状态不仅仅要确定体系中每一粒子的位置，还要确定每一个粒子的动量（或能量）。所以啊，我们看到污水分层了，它在坐标空间确实更有序了，但其实粒子能量的可能状态数也更多了！下面我们简要说明一下这一点。
简单例子的计算可以参考资料。认为污水体系总能量守恒，重物沉积结束以后由于重物下沉时受到阻力重力势能转化成热能，0' data-formula-type='inline-equation'>，所以0' data-formula-type='inline-equation'>，熵增！从微观熵角度看，沉积以后重的粒子掉到了下面，坐标空间水分子所能出现的位置还是那么多，但现在重粒子拿出了一部分重力势能，现在各种粒子所能具有的动量(或能量)的可能取值就变多了，总体来看微观状态数实际变多了，熵增！结论是一致的。
by Alan
Q.E.R.
Q6
电场，磁场看不见摸不着，科学家为什么说它们是物质呢？它们有质量吗？by 匿名
答：
电场，磁场与电磁波其实是一回事，因为电场与磁场具有能量和动量，所以我们认为电磁场是一种物质，而要说起质量，根据爱因斯坦的质能方程（），电磁场其实也是有质量的，只是其静止质量确实为零。
首先，我们需要认识到，“看得见，摸得着”这种描述正是我们对物质的传统认知，这种认知是有局限性的，而随着对电磁场的了解逐渐深入，我们对物质的了解也更接近事实。
“看得见，摸得着”指的是物质的不可入性，即当物质占据时空中某一点时，其他物质便不能再占据该时空点。不可入性、质量（这里实际应为静止质量）是旧的物质观的重要特征。
但随着我们对世界的深入认识，我们发现了黑体辐射、光电效应等现象。这提示我们同原子电子一样，光同样具有不连续的微观结构。而电子衍射现象又揭示了电子的波动性。这都提示我们，微粒和波似乎并不完全独立。1932年，我们实验上发现了正负电子相遇会湮灭并产生电磁波直接证明了物质的粒子性与波动性可以互相转化！
另一方面，当我们研究带电体或磁体系统的能量动量时，我们发现其并不守恒，但我们却总可以构建电场与磁场的能量动量形式，使得系统的能量与动量守恒，这些能动量形式是普适的，因此，我们认为，电场与磁场必然是具有能量与动量的，这与我们一般认为的物质是一样的。
以上种种，都提示我们，我们以前对物质的认知是有局限性的，不可入性、静止质量并非物质的固有属性，场与粒子（或者说波与粒子）都是客观存在的物质，只是其表现出来的属性有所不同，而这种属性甚至没有明确的分界，一定条件下甚至可以相互转化。因此我们现在认为场与电子等粒子都是物质。
最后插一句题外话，物理学就是我们认知世界的一门科学，但世界不会因为我们的认知不同而有所改变，改变的永远是且只能是我们的理论，所以当我们的认知与世界的客观实在发生冲突时，我们要毫不犹豫的放弃我们的理论，我们都必须做好心理准备。
参考资料：赵凯华, 陈熙谋. 电磁学[M]. 高等教育出版社, 1985.
by 霜白
Q.E.R.
Q7
一只耳朵听到的东西不仅缺乏立体感，还会缺乏空间感，为什么会这样，两只耳朵各有什么功能呢？是不是分别感应不同的频率？by 匿名
答：
两只耳朵在结构上功能上是相同，只是左右对称的。耳朵的结构与功能非常经典：有限频率范围的声音，通常是20~20kHz，通过外耳郭收集进入耳道，引起鼓膜振动，进一步通过听小骨引起内耳结构中纤毛（cilia，纤毛是个分布非常广泛功能非常多样的细胞结构，虽然不容易发paper）振动，将波动的机械信号转化成电信号，传递到大脑。两只耳朵都是以同样的方式将信号传递到大脑，在大脑中集中处理。
fig. 人耳的示意图 一个并不位于两耳正中平面的声源，由于距离两只耳朵的距离不同，会致使两只耳朵接收的声音信号时间不同，强弱有差异，大脑的颞叶区域会处理分析，给出声音来源的方位和大致距离，这就是声音的立体感和空间感。如果声音来源距离两只耳朵距离差不多，人和动物会不自觉的将头或者耳朵扭转来实现两只耳朵声音差异（人的动耳肌退化，所以耳朵动不了），进而判断方向和距离。举一个简单的例子，你可以试着缓慢走近一只猫咪，看它会不会扭头，耳朵会不会动。[doge]
利用两个耳朵对声音感知的差异，有着极为丰富的应用，最简单的便是音乐和电影的左右声道（左右声道开启时，两只耳机声音有差异）。进阶一点的应用，便是游戏中利用左右耳机声音差异来诱使玩家产生方位感（比如在腾讯的某款枪战手游中，带上耳机，玩家可以听出来枪声的方向和距离）。
fig. 环绕声的简单示意 by 某大型裸猿
Q.E.R.
Q8
为什么把莫比乌斯环从中间剪开，它并没有变成两个环？但是莫比乌斯环的特性会消失？by 匿名
答：
这个问题比较抽象，因此在这里只能提供一些理解的角度，而不是数学上严格的证明。
首先我们先去描述莫比乌斯环，它只有一条边，一个面；某个蚂蚁，可以在不用跨过莫比乌斯带边缘的情况下，到达其出发位置的背面。同时我们考虑莫比乌斯带在空间的曲面方程：
其中
这个方程描述的是一个半径为2，宽度为2的莫比乌斯带。现在我们们脑海中已经有一个关于莫比乌斯环比较清晰的图像了，接下来我们尝试解释为什么把莫比乌斯环剪开不会变成两个莫比乌斯环。
思路一：
如上图所示，我们发现除了莫比乌斯带中间一圈（）上的点，其他每个点到边缘都有唯一的最短距离，满足。因此对于莫比乌斯环上任意满足的两点，和，我们都可以找到这样一条路径把两点连接起来。首先从走的距离到边上，然后沿着边走到边上距离最小的位置，从这一点再走的距离到，同样可以满足。这条路径并没有经过，也就是的点，因此即使我们沿着中间的线剪开，在新的图形上，我们仍可以按照原来的路径连接任意两点，所以新的图形必然是连续的一个整体而不是两个环。
思路二：
假设莫比乌斯环从中间剪开变成两个莫比乌斯环，那两个莫比乌斯环也必然能按照某种方式拼接成一个莫比乌斯环。那么在两个小的莫比乌斯环上任取两个环绕一周的圈，再把这两个莫比乌斯环拼在一起，则这两个环必然不相交。我们先沿着第一条圈剪一刀，现在应该有两个莫比乌斯环了，其中一个环上有第二个圈，而这个环的边就来自我们沿着剪得那个圈，现在我们沿着第二个圈剪开，由于第二个圈跟第一个圈不相交，我们会发现会出现一个这样的环，它的边分别来自第一个圈和第二个圈，也就是说这个环有两条边，与假设矛盾，因此莫比乌斯环从中间剪开不会变成两个莫比乌斯环。
下面我们讨论莫比乌斯环从中间剪开会产生一个怎么样的环，由思路一的启发，我们可以考虑用一个全新的曲面方程来描述不含v=0的点的“莫比乌斯环”，方程如下：
此时和取值范围改变了，变成，这其实就是把莫比乌斯环从中间剪开后得到的新图形的曲面方程，我们发现，扭了整个一圈，也就是说新环的结构应该是把一条纸带转360°再接上。
by 前进四
Q.E.R.
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书蠹诗魔、John Watson、观山不易、Alan、霜白、某大型裸猿、前进四