2020南非数学奥林匹克 -中文翻译

1.求恰有 个正因数的最小的 的倍数.

2.给定一个边长为2的正方形 以及一个边长为 且内角为 和 的菱形 . 将这两个四边形放在一起, 其中心重合, 且菱形的对角线平行于正方形的边. 计算其中重合区域的面积.

3.已知实数 , , 满足

求的值.

4.对正整数 ,若存在正整数 , ,使得,就称是梦幻的. 求梦幻的正整数的个数.

5.如图, 内接于圆, 在延长线上取点, 在延长线上取点, 使得.在延长线上取点,在CA延长线上取点,使得.求证:共圆,且其圆心在上.

6.世界上最大的打击乐队有超过100万名成员. 有一天, 乐队的指挥希望将成员们排成一个方阵. 首先, 他找出最小的正整数,使得所有的成员都可以被放进一个的方阵中.然后将成员们按每行人的方式排列. 但是, 指挥发现方阵中有若干空位. 于是, 她让第一行的位成员回家, 然后让其余成员重新进行上述排列.
她的目标是将乐队成员组成一个完美的没有空位的方阵, 但直到最后一位成员回家,这个目标也没有实现. 求乐队成员数可能的最小值.