12. 整体与部分

不谋万世者,不足谋一时;不谋全局者,不足谋一域—— 陈澹然[清]

一、哲学阐释

部分与整体标志着客观事物的可分性和统一性的一对哲学范畴,整体是构成事物的诸要素的有机统一,部分是整体中的某个或某些要素。整体和部分的划分是相对的,某一事物可以作为整体包含着部分,该事物又可以作为部分从属于更高层次的整体。事物的整体及其各部分都处于不断运动变化中,并且受到环境变化的制约。事物的部分发生变化会影响整体,乃至破坏原来的整体,构成新的整体;整体的变化也影响其各部分,排除某些部分或吸引新的环节成为其部分。部分与整体之间的关系不是静态的,而是动态的。

整体是部分的有机统一、集合,集合中的各部分不是单纯地叠加或机械地堆在一起,而是以一定的结构形式相互联系、相互作用着,从而使事物整体具有某种新的属性和规律,与它的各个部分在孤立情况下所具有的属性和规律有质的区别,它不是各个部分属性和规律的相加。

部分是整体的一环,事物作为整体中的部分与它作为独立的对象也有质的区别。在某些情况下,当整体分解时,其部分可能以原来的状态游离出来该整体,作为独立物存在,但当它在整体中则总是以某种方式与其它部分结合着,在整体中“分享”或带上整体性;在更多情况下,整体中的部分不能以原来的状态游离出来,当部分脱离整体或整体分解时,其部分就改变性质成为他物。

二、紧密联系的数学思想方法

分类整合的思想(整体的分解)、归纳推理(部分到整体的推理)。在数学中,常常需要从定性描述到定量刻画,定性往往是从宏观来把握结构,而定量刻画则需要深入到微观层面。比如函数的性质,最后都是通过函数图像上点来描述。

三、教学和解题中的应用

(一)对整体进行合理的分拆和变换

对整体进行合理的分拆,分拆为最基本的单元,由基本的单元的性质,得到整体的性质,或通过对基本单元的处理,得到新的整体,使得具有我们想要的性质。

(二)整体性质和部分性质的统一

(三)注意整体性质是部分性质的有机结合

(四)找到关键点,在点上突破

在和对方进行比赛,需要找到对手的弱点,而要尽量发挥自己的优点。解题亦是如此,找到整个问题或整个过程的关键部分或过程,需求突破。

整体具有的性质,在部分也会体现出来,而部分的性质容易处理,通过对部分的处理得到一些限制条件,使得问题研究的范围缩小,更易于处理。部分性质的发现往往有助于研究整体的性质。

(五)找到关键部分,理解关键部分对整体的影响

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